Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Взяв след по вейлевским индексам с точкой, мы видим, что симметричная и антисимметричная части по паре k, I обращаются в куль. Поэтому отсюда следует
(второе уравнение получается из таких же рассуждений).
Разберем теперь случай, когда среди А, В, С имеются один векторный индекс и оба типа спинорных индексов. В качестве DhE выберем векторные индексы. Тогда из уравнения (16) получаем
Таким образом, Mj1yhde симметричен по индексам a, d и антисимметричен по индексам d, е; следовательно, он равен нулю. Это дает
(17)
Мацы= 0. Mdif5m' = 0, Mamh1 = 0, Mjimi = O, Mabyh1 = о, MJm = о, Mabc1 = 0.
(18)
MatJuGjbblt + MaiJu G Jb\ = 0. (16а)
MaiJhl = O, Matbmi = O
(19)
(166)
(20)
168 Н. Дрэгон
Используя этот результат, возьмем в качестве DnE спинорные индексы. Из уравнения (16) получаем
AfJVeweV + мД/G/ZV=О- (16в)
Te же аргументы, которые привели к (19), показывают, что выполняется равенство
MaeV = 0. (21)
Пусть теперь А, В — векторные индексы, а остальные — спинорные индексы без точки. Используем тот факт, что компоненты Af, соответствующие генераторам внутренней симметрии, равны нулю. Уравнение (16) дает
Mabykcd (осДЧт + Mab6lcd(oc&\°bkm = 0. (16г)
После некоторых алгебраических выкладок получаем (п+ I) (оЫ8)вр Afa6vAcd = 0,
где п—количество внутренних индексов. Используя также другое следствие (16)
(OcdAAWd = O, (16д)
получаем
Mabyh0d — 0. Mjhcd=O. (22)
(Te же аргументы приводят ко второму уравнению.) Это завершает доказательство: тождества Бьянки выполняются вследствие леммы (16), стало быть, они следуют из (10) и (14).
5. Выводы
Полученные результаты показывают, что кривизна является избыточным объектом в супергравитации. Вместо нее можно использовать кручение и его ковариантные производные. Вторые тождества Бьянки не налагают дополнительных условий на кручение и следуют из первых тождеств Бьянки и уравнения (14). Это нетривиальное утверждение, поскольку, хотя (14) и является частным случаем соотношения
[&а> &ВІ = Rabg^g Tabl®l> (23)
из которого следуют тождества Бьянки как тождества Якоби, из самого частного тождества (14) вторые тождества Бьянки, вообще говоря, не следуют (например, в римановой геометрии).
Полученный здесь результат должен облегчить проверку на совместность, которая проводится при введении уравнений,
8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации 169
включающих кручение. Этот результат показывает также, что уравнения движения и связи должны выражаться как условия на кручение в суперпространстве.
ЛИТЕРАТУРА
1. Deser S., Zumino В., Phvs. Lett., 62В, 335 (1976);
Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214
(1976);
Breitenlohner P., Phys. Lett., 67B, 49 (1977).
2. Wess I., Zumino B„ Phys. Lett., 66B, 361 (1977); 74B, 51 (1978). Preprint CERN Ref. TH 2553.
3. Wess I., Supersymmetry-Supergravity, Lecture Notes in Physics, 77, 81
(1977).
4. Grimm R., Wess J., Zumino B., Karlsruhe preprint, Okt. 1978.
5. Grimm R., Wess Zumino B., Phys. Lett., 73B, 415 (1977).
9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей в супергравитации
С. Джеймс Гэйтс ’), К. С. Стелл 2), П. К- Вест 3)
5. lames Gates, Ir., К. S. Stelle, Р. С. West, Nuclear Phys,
В169, 347 (1980)
В статье сформулированы алгебранческие мотивировки появления связей в суперпространственной формулировке супергравитации. Максимальная группа симметрии, возникающая при изучении связей, отождествлена с естественным обобщением группы Вейля в общей теории относительности. Введены в рассмотрение трансформационные свойства геометрических объектов теории относительно действия этой группы. Связи выводятся нз требования сохранения общих свойств представлений плоской суперсимметрии. Кроме того, вводятся алгебраические условия, позволяющие получить в явном виде максимальное число компонент связности и репера.
1. Введение
Недавно был достигнут существенный прогресс в систематизации весьма сложной алгебраической структуры теорий супергравитации. Это началось с открытия минимального набора вспомогательных полей [1] и последующего развития тензорного исчисления [2].
Вскоре после этого была развита суперполевая теория супергравитации [3—5]. В то время как суперполевой подход включает большое количество информации компонентного подхода и в принципе является наиболее эффективным путем описания теорий супергравитации, исторически так сложилось, что основные результаты вначале были получены в компонентном формализме, а затем воспроизведены в суперпространстве.
Геометрический формализм общей теории относительности легко обобщается на суперпространство. Вводятся понятие общей ковариантности в суперпространстве и группа Лоренца касательного пространства с соответствующими репером Eam и связностями ФАвс. Однако с условием, чтобы не было компонентных полей со спином выше двух, этот формализм сам по
') Dept, of Physics, Harvard University, Cambridge, Mass, USA.
2) Theoretical Physics Dept, Imperial College, London, SW7, England.
