Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
0аФ = О (4.1)
имеет условия интегрируемости
V = V=0- (4-2>
Поскольку это соображение не использует формулы для связности Фмьс и для обратного репера с векторным индексом Еам, оно должно выполняться при любых заменах этих величин. Это подтверждается уравнениями (3.7), дающими законы преобразования Tafic и Ta^ при действии супергруппы Вейля и показывающими, что преобразования компонент кручения этого
вида являются просто масштабными преобразованиями и не имеют вкладов от fAbc и faB-
Так как связи второго типа (4.2) независимы от суперполей (Фмьс, Еам), которые определяются связями первого типа, то порядок, в котором накладываются связи первого и второго типов, несуществен. Именно эта независимость от порядка, в котором накладываются связи двух типов, позволяет сделать четкое различие между связями, сохраняющими вид представления, и стандартными связями.
До сих пор мы ограничивались рассмотрением киральной части общего скалярного суперполя. Важно также обеспечить сохранение вида других представлений ортосимплектической группы OSP (1,4). В работе [14] показано, что проекторы для разложения суперполя с лоренцевым индексом (р, q) записываются в виде
р±„, „_ ± j (4 3)
где m — обратный радиус антидеситтеровского пространства, являющегося пространственным сечением суперпространства постоянной кривизны, на котором определены суперполя. С помощью двух проекторов (4.3) можно написать определяющие дифференциальные условия для разложения суперполя с лоренцевым индексом (p,q). Эти условия имеют следующий вид: линейное
[3)JDa -2(1+ q)m} Фір’ q) = 0, (4.4a)
9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 179
киральное
{SDJF + Zmq} Ф(р'?) = 0. (4.46)
Если суперполе не имеет индексов без точки, то условия (4.46) эквивалентны следующим:
<4-5)
Киральное скалярное представление — частный случай этого. Для суперполей, содержащих индексы с точкой, два условия (4.4а, 6) эквивалентны соответственно условиям
...,<** ...> = °> (4.6а)
Vpv ..,(*•., = 0- (4'66)
Напомним, что свободные индексы данного типа (с точкой или без точки) должны быть полностью симметричны в неприводимом представлении.
Рассмотрим теперь локальные аналоги глобальных ортосимп-лектических представлений. Нетрудно проверить, что операторы
pjp. О = ! "(I =F{1_± 2qj_)_g/e_|
Ґ± I (l + 2q)RI3 J
удовлетворяют условиям идемпотентности и ортогональности, необходимым для проекторов; здесь
R = Raf*, (4.8)
вообще говоря, не равен нулю. Для проверки того, что операторы (4.7) являются проекторами, необходимо использовать
уравнения
DaR = 0, (4.9)
Ra$yb ~ 0’ Ra$y6 = б" (ЄауЄрв + 8a68Pv)
являющиеся следствиями принятых нами связей первого и второго типов, получающимися при применении тождеств Бьянки в суперпрбстранстве. Доказательства уравнений (4.9) и (4.10) приведены в приложении. Таким образом, для данных внешних лоренцевых индексов типа (р, q) две компоненты суперполя ф(р, </) определены следующими условиями: линейным
{ 0«®“ --f-(1 + <7)} Ofcrt = O, (4.11а)
киральным
{0a0a + <7y} Ф(Р,,) = 0. (4.116)
180 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К¦ Вест
Как и в глобальном случае, в применении к суперполю, не имеющему индексов без точки, условие (4.116) эквивалентно следующему:
В применении к суперполю, имеющему индексы с точкой, условия (4.11а), (4.116) эквивалентны условиям
...><¦* (4ЛЗа)
0(А ...и*...>=°- (4ЛЗб)
Можно проверить, что требование сохранения вида этих высших представлений не накладывает новых связей. Уже принятые связи первого и второго типов достаточны для того, чтобы вывести все условия интегрируемости для уравнений (4.11),
(4.12), (4.13) путем соответствующего использования тождеств
Бьянки.
Здесь следует сделать замечание относительно причины, по которой при обсуждении сохранения вида представлений можно не ссылаться на связи первого типа. Причина эта состоит в том, что дифференциальные условия второго порядка и линейные дифференциальные условия на суперполя с индексами содержат связность Флвс. Эта связность фиксируется выбором связей первого типа. Конечно, может быть сделан другой выбор стандартных связей с соответствующим изменением определяющих условий для высших представлений. Тогда эти определяющие условия будут содержать дополнительные члены, такие, как TaQ?, исчезающие в пределе глобальной симметрии. Этого нужно ожидать, поскольку переопределение полей для связности, соответствующей другому набору связей первого типа, требует именно таких членов. Связи первого типа, принятые в разд. 1, отличаются тем, что определяющие условия для высших представлений имеют в точности такую же форму, как и в пределе глобальной симметрии OSP (1,4).
5. Выбор калибровки по супергруппе Вейля
В предыдущих разделах мы видели, каким образом сохранение вида представлений глобальной суперсимметрии под действием локальной группы приводит к связям второго типа; в то же время связи первого типа суть алгебраические условия, которые могут быть разрешены относительно связности и репера и делают теорию теорией второго порядка. Мы заметили также, что связи первого и второго типов имеют очень большую группу симметрии — супергруппу Вейля.
