Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
т __ d с rT
ббуїФ Yr ^СФ
может быть разложен на неприводимые части
^вАууф = 2eSy буф "Ь Єф?т4 “І" єф6ту) “I" ^еАутйуф-
В этих уравнениях произвольно, Ts и тбуф выражаются
через производные G. Окончательно получаем
^вАууй = ~ 2еву^6уй ~ ~2 Єву(Єйу^ 0,4 "Ь Єй6^ ^ту) +
"Ь ~2 (^й^уй O64),
= J1 + &Л) G0S + у І (^a + «еа^в) <?у6 +
+ і (SaeSev + SveSea) SDxGxb, (34)
^eS буй = ^гєев^уй4 У Z" (ЄАу^е^вй "Ь ЄЬб®іР&і)-
Тождество (15) связывает те же компоненты кривизны и кручения. Оно совместно с (34) только в том случае, если
ZbxGxy = &>yR*. (35)
Мы разрешили все линейные соотношения. Нелинейные тождества (19), (20), (22) либо дают выражение некоторых
158 Р. Гримм, Я. Весс, Б. Зумино
компонент кручения и кривизны в виде нелинейных комбинаций ковариантных суперполей GnR, либо могут быть сведены к линейным с использованием коммутаторов ковариантных производных (10). Тождество (19) позволяет выразить и
в (31) через компоненты кривизны и их производные, которые уже выражены через W, G и R. Например,
К&Ьуй = т * і Ч S4 ?4 Sd
-ViV+VrsVl- (36)
Это выражение уже симметрично по (є,б). Оно должно быть симметрично также по (у, а), что дает условие
^«4 + і і + = 0. (37)
Здесь мы использовали тот факт, что
^tPxGtx + ^xGbx = + ^4) R* = 0
вследствие (35), (10) и связей (7). После некоторых алгебраических преобразований мы приходим к результату
Xvto = T U + + ».*»!.)¦ +
+ (««'..+ча,) +т ояа»+^ +*'*„«)}.
(38)
Соответствующий результат для Ф7в4й приведен в разд. 4. Нужно заметить, что % и ф удовлетворяют условиям (32а) и (326), выведенным из тождества (23). Наконец, рассмотрим тождество (20). Выразим кручение через W, G и R с помощью (34), (29) и (27). Все члены, кроме одного, пропорционального 2DW, содержат тензор є и обращаются в нуль после симметризации по всем индексам. Это дает условие
Vm = 0- (39)
При выполнении этого условия (20) и (22) удовлетворяются тождественно. Проверка этого требует длинных вычислений, в которых существенно используются связи (7) и коммутационные соотношения (10).
4. Результаты
Результаты этой статьи использовались и будут использоваться в работах по супергравитации. Поэтому полезно иметь исчерпывающий список формул, которые могут быть выведены
7. Полное решение тождеств Бьянки 159
из связей на суперпространство (7) и тождеств Бьянки (8). Надо заметить, что выражения для компонент тензоров кручения и кривизны, которые мы даем ниже, разрешают также и тождества (9). Компоненты тензора кручения, отличные от нуля, имеют вид
T 0 = T 0 = Iia0
у& &у уЪ'
у Q ___ Iji Cl ____ 1 — Ё?/п Cl
Se еЪ 2°е ¦‘йеі’
^Seia 2 гє
У й ___ пг> & _____ I — itQrp Cl
te еб 2 ’
^бе&й = — 2гєб8Є4й^ >
rn Cl _ m Q ____ 1 — ЁБт Q
1^e 1 ей 2°е 7 бгй ’
^eefea = ~4 г (веаРб& ^Єба^гй ^Єбе^ай)»
ф d____ /ті й_______ 1 — бспі й /т\
be еЬ 2 е ^e6 ’
^Sufid = T * (Єйй^г6 ^Ej4Gefi ^Є6й^бй)>
пг ®nr* et — Se - VyTi сі
dc ¦* cd 4 “ с S^VY ’
»¦««. = - Vw - і '* (V»A* + 'Л0»*) +
+ 6Sv “t”
T (L___ rp Cl______ I - 46- ^yт *
1 do 1 Cd 4 d с 6&W »
Тйбууй 2в&у^Ьуй 2 6Sy(Є4<ї^ф^% ZyaP<P і)
+ "2 6Sv (®іРуй + ^yGfa) ¦
Компоненты тензора кривизны могут быть выражены через те же суперполя. Кривизна принимает значения в алгебре Ли, откуда следует
^ABcd = J (<W)"6 rAB^ - J ОлГ Rabw Клвуб КлВйуг ^AByb = R ABty
160 Р. Ґримм, Й. Becc, Б. 3 у мим
Все остальные компоненты тензора кривизны равны нулю. Компоненты тензора кривизны, фигурирующие в (40), имеют следующий вид:
Rtysa == 4 (EjeEya -j- E^eEja) R ,
Rbi&a = 4 {ebtei& “Ь ei&eb(t) R’
Rtytd R&у га 0’
Rtyea Ry6ea (Єбе^ау eSa^sy)*
Rtytd = ^yted = (®У4^бй + 8уй^ві)»
Recia Reeia = "g" GcyyReyy ба,
Reyi ба — ^ (ЕвбЕ^а &sa&yb) G^y -{-
"Ь Y * (ггу®6 Ее&®у) Gai + "2 * (%у®а "Ь esa®y) Gtyt Rsebi ==* Resbit 2 ^Rsyybit'
Reyibit = ^г'Є87^7бй "t~ У * (6YS^eSi&®eGyb)t Rte ба = — ей ба == 2 OcilyRtyi Ьа >
Rtyi ба — 4/ббуW7Sya + Y г* (еув^^а7 + Sya^Gey),
Rtcbit == Rctbi Z== 2 ®c^Rtyibit’
Rkyi bit ~ * (8Ji6W "Ь еЬйгуЬ) ®<ру + (10
Tг" іеьу®ь "I" zt^y) Gy«i Y і (віі®& ем®і) Gyb> Kdya=I dS8dCth6Re6 bby*
*e dib ™ ^ Oe^J6Rst ityit,
Retb bi& = 2єев^6 буй “Ь 2e^ScPe вуй’
^гй біу“ = 2єіЛ вуа 2Є8б^й 4у“’
1,?-t(%+V«,+V4.+V,»)+
+ (<ЧА. + '*А,) { - W + T °«,°№ + -iU2^' + *“*»«)}•
tPea^S Aea (^eS^ay ”Ь ^aS^ey) “І”
+ 7‘ (3iMpa + 2^0Oi + ®«і°и + 2U04) +
+і *' (VA + ®,®А»+A,+^A,)-
7. Полное решение тождеств Бьянки 161
Суперполя W, G и R подчинены следующим условиям:
3>aR = О, SEf9Gv4 = ^Rt, S0*Gyt = 2>yR,
а$у = 0, S)eW^0,
Ш + \ і {®*G\ + ^ebGe6) = О, (III)
<Z>aWa6s + 1 і (<ZW + 2>*G.4) = О,
Gad = Gad. (W^aPv) =
Wapv полностью симметрично no (a, p, у).
ЛИТЕРАТУРА
1. Amowitt R., Nath P., Phys. Lett., 56B, 117 (1975);
Arnowitt R., Nath P., Zumino B., Phys. Lett., 56B, 81 (1975).
2. Акулов В. П., Волков Д. В., Сорока В. А.—Письма ЖЭТФ, 22, 396
(1975).
3. IFm Л, Zumino В., Phys. Lett., 66В, 361 (1977).
