Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
TA = j ЕсЕвТвса = dEA + EbФва, . (5)
а кривизна — через внешнюю производную формы связности:
Rab = \ EeEdRdeab = йФАв + ФЛСФСВ- (6)
Из определения следует, что Rab, как матрица с индексами А,
В, принимает значения в алгебре Ли. Нетрудно явно проверить, что кручение ТАв° и кривизна Rabcd являются тензорами по отношению к группе Лоренца касательного пространства. Эти тензоры приводимы, и любая неприводимая часть может независимо использоваться при формулировке ковариантных уравнений.
Упомянутые вышесуперпространственные связи имеют вид1)
V=0’ 7V=7V=0-
7V = V = 2toV (7)
V = 7V=O' Tabc = O.
Из условия dd = 0 следует, что dTA и dRAB удовлетворяют некоторым тождествам (тождествам Бьянки)
dTA + ТВФВА — EBRBA = 0, (8)
dRAB +RacQca-Va0Rca = O' (9)
или в более подробной записи
EcEdEb {®eTdca - RedCa + TedfTfca) = 0, (8')
EcEdEb {2>eRdcab+ TeJRfca*) = 0. (9')
Мы собираемся показать, что эти тождества с учетом связей (7) допускают явное решение. Это решение зависит от суперполей R(z), Gab(z), Witby(Z) и их ковариантных производных. Знание явной формы ковариантной производной не необходимо для решения; вся нужная информация описывается коммутационным соотношением
[2>а, 2>в\± = - Rab; - ТАВСФС. (IO)
*) Подчеркнутый епинорный индекс (а) означает, что он может быть как с точкой, так н без точки.
7. Полное решение тождеств Бьянки 155
Это соотношение может быть выведено из определения кова-риантной производной (4) и из определения кручения (5) и кривизны (6). В этом соотношении обе части рассматриваются как операторы, применяемые к тензорам; точки в (10) означают, что Rabcd находится в соответствующем представлении алгебры Ли. Прежде чем находить решения тождеств (8), нам нужно разложить их в неприводимые (по отношению к группе Лоренца касательного пространства) уравнения. Это дает тридцать уравнений, но некоторые из них являются комплексно-сопряженными друг другу, некоторые тождественно равны нулю вследствие связей (7). Остаются следующие тождества:
Re did =^>eTdiiL jT ^dTieiL + SE>yTedd + Tdy~Tфей + T</е-Тф ай, (19)
®еТeya + ^dTVea 3)уТе da Tdy~Tфва “Ь Tуе~Тф da = 0, (20)
Разрешая эти тождества, мы часто будем пользоваться тем, что Rabcd и Тавс определены через 2-формы и, следовательно, имеют определенные свойства симметрии по индексам А, В. Кроме того, Rabcd принимает значения в алгебре Ли по С, D.
3. Решение тождеств Бьянки
Будем решать уравнения (11) — (23). Сначала попробуем разрешить линейные уравнения, а именно те из них, которые не содержат производных. Это уравнения (11), (12), (13), (17),
(18), (21) и (23). Начнем с уравнения (17) и перепишем его в спинорных обозначениях
(И)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
КъЪса = - 2iaartTbc - 2*%ЛЛ
^ebca = - 2г'СТаф/еСФ + 2Іаае
da— 0.
(22)
(23)
(21)
(24)
156 Р. Гримм, Я. Весс, Б. Зумино
В спинорных обозначениях тот факт, что кривизна принимает значения в алгебре Ли, выражается следующим образом:
R&6yya& 2^yaR&by(i “Ь 2^уй^іЬуа > (25)
гДе Rikya И симметричны по (у, а) и (у, а) соответствен-
но. Кроме того, они симметричны по (є, ft) вследствие определения Rabcd как 2-формы. Уравнение (17) принимает вид
Єуй^&Ьуа ^уа^ іЬуй. 2^ (^йё?Ьууа “Ь ^ittFiyya)' )
Разложим T^a на части с определенной симметрией по от-
ношению к перестановке индексов — с точкой и без точки по отдельности (подчеркивание указывает на симметрию):
Т&ууа = E&yGya? + ЄЬуТуа "Ь Gya?by "Ь ^уйЬу- (26)
Умножив уравнение (17') на є4*єа\ получим T^ = 0. Выпишем часть уравнения (17'), симметричную по (у, а)
sn^tbya = 2І (гйіЦу + eCtie6?) Туа + 2І (ЄйіТуа6у + ЄЧІГуаіу)-
Умножая на є44, получаем Tya = 0, Rtfya = -GiTya^; умножая на є4*, получаем Rtibya = — 2ZTya66; следовательно, Tyaik = 0.
Уравнение (26) приводится к виду (T^ — 2iR)
^byya ~ 2iebfeyafi> (27)
и из (17') следует
^е&уЛ — 4 (8бйе6? + гЬйгьу) R" (28)
Уравнения (27) и (28) суть общие решения тождества (17); они дают также решение тождества (13).
Аналогичный анализ тождеств (12), (18) и их комплексносопряженных дает
Tеууф — І (EypGe^ 3Egy^qrV — ЗбефОуу),
Rebya = Єуе@аЬ “I" &ае^ук> (29)
G ait = Gait•
Уравнение (29) дает также решение тождества (11).
Тождество (21) позволяет выразить R^dca через компоненты кручения Тасф:
Rsdcit == І (оаефТсаР <5агфТdc^ — (УсефТad^)» (80)
7. Полное решение тождеств Бьянки 157
Тождество (23) — такое же, как в обычной гравитации, его следствия хорошо известны [13]; в спинорных обозначениях
Ryiббейай 4gy6 ^еаХуЬ&й 48у68?йФуАеа 4^у&^еаФу6йй ”1” 4*Н&^йсДу6еа'
~ (31)
Тождество (23) эквивалентно следующим:
Фубда фі<іуб, (32 а)
Xapvp = 8OY^ (Л вещественно). (326)
Таким образом, тождества без производных разрешены. Теперь будем разрешать линейные тождества, которые содержат производные; это тождества (14) — (16).
Подставляя (27) в (16), найдем
^R = 0. (33)
Решение тождества (14)—более утомительное дело. Компонента кривизны R6ey« с помощью (30) и соотношений алгебры Ли выражается через Т^. Поэтому тождество (14) сводится к уравнению, связывающему Tat? и производные Tyea, которые в свою очередь выражаются через Gab с помощью уравнения (29) . В спинорных обозначениях тензор
