Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинг С. -> "Геометрические идеи в физике" -> 56

Геометрические идеи в физике - Хокинг С.

Хокинг С., Прасад М., Гиббонс Г., Феррара С. Геометрические идеи в физике — М.: Мир, 1983. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): geometricheskieidei1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 90 >> Следующая


Геометрическими тензорными величинами являются кривизна и кручение. С помощью этих величин могут быть сформулированы ковариантные уравнения. Есть два различных вида таких уравнений [4]. Уравнения одного вида органичивают число независимых компонентных полей, и из них не следуют какие-либо дифференциальные уравнения в четырехмерном х-про-странстве. Эти уравнения называются суперпространственными

') Karlsruhe University, West Germany.

2) Columbia University, New York, USA.

North-Holland Publishing Company Перевод на русский язык, «Мир», 1983
152 Р. Гримм, Я. Весе, Б. Зумино

связями. Уравнения второго вида дают полевые уравнения для остающихся независимых компонентных полей. Это обычные полевые уравнения супергравитадии [3].

Разумно было бы начать с решения суперпространственных связей. Такой подход применил Зигель; он дал явное выражение связей через суперполя [9]. Это уменьшает число независимых компонентных полей и, следовательно, ведет к линейной зависимости известных тензорных величин — кручения и кривизны. Эти величины могут быть выражены через несколько тензорных суперполей R, Gafrt и их комплексно-сопряжен-

ные. Более простой способ состоит в решении Тождеств Бьянки при учете связей. Таким способом можно найти явные выражения для кручения TАвс и кривизны Rabcd через упомянутые выше тензорные ПОЛЯ.

В этой статье мы будем следовать второму подходу и дадим полный анализ тождеств Бьянки с наложенными связями.

Раздел 2 содержит краткое введение в дифференциальную геометрию в суперпространстве и вывод тождеств Бьянки. Тождества Бьянки решаются в разд. 3. Чтобы ближе познакомить читателя с используемой техникой, весьма подробно разбирается несколько примеров. В разд. 4 собраны результаты. Отдельные части этих результатов существенно использовались в работах [4, 5, 8—10], но до сих пор они не были систематизированы.

2. Дифференциальная геометрия в суперпространстве и тождества Бьянки

Дифференциальная геометрия в суперпространстве базируется на понятии суперпространства [11] и, как принято в дифференциальной геометрии, на понятии репера (фильбайна) и связности. Одной из задач дифференциальной геометрии является конструирование из реперов, связностей и их производных таких объектов, которые преобразуются как тензоры при действии общекоординатных преобразований. Важным инструментом таких конструкций являются дифференциальные формы и внешние производные [12].

Элементы пространства обозначим Zm ~ (хт, (Г, 0^), где 011, 0р, — набор антикоммутирующих переменных. Индексные обозначения обычные: латинские буквы (т) обозначают лорен-цев тензорный индекс, греческие буквы (ц, ji) — лоренцев спи-норный индекс, прописные буквы (Al) обозначают суперпро-странственный индекс.

Репер EMA(z) связывает мировые индексы (М, из середины алфавита) с индексами касательного пространства (А, из начала алфавита). Предполагается, что репер обратим: EmaEan
7. Полное решение тождеств Бьянки 153

= бmn. Мы будем использовать следующее правило суммирования:

C1 Лп JV __ г? fln JV і 17 а 17 N І Г7

EM EA — ЕМ Ea “Г EM Ea E М&Е

Кроме репера мы вводим связность Фmab(z). Связность принимает значения в алгебре Ли. Это означает, что Ф как матрица с двумя индексами А и В касательного пространства есть элемент алгебры Ли структурной группы.. В качестве структурной группы мы выберем группу Лоренца, следовательно1),

®МаЬ = — ®МЬа' ®Л*Э<х> =

° ййа = + 2єй^ФМар.

Остальные компоненты СВЯЗНОСТИ, такие, как Фмоа, Фмай, Фунай,

нулевые. Трансформационные свойства при действии общеко-

ординатных преобразований таковы:

б dzN = — dzMdMlN (2),

6ENA = 0NlMEMA + lM0MEN\

б Ean = - EamOmIn + ImOmE an, (2)

6Ф nab = д^мФМАв + ImOmOna8.

В качестве структурной группы выбрана группа Лоренца:

6ENA = EnbLba (2),

б Ean = -Lab{z)Eb", (3)

6Фмав = Фмас (Z) LCB (2) - Lac (г) Фмсв - 0mLab (2).

Матрица LAB подчинена условиям (1), поэтому LAB принимает значения в алгебре Ли.

Связность позволяет определить ковариантные производные2)

®MVA = OmVa +(-Dmb УВФМВА, <Z>JJA*=dMUa-®MABUB, SDbVa = EBM®MVA, ?>bUa = EBM®MUA. (4)

') Мы используем здесь полностью антисимметричный тензор 8, 822 = «=—е21 = 1, 812 = —Є21 = —I. С помощью этого тензора поднимаются и опускаются спинорные индексы. Векторные индексы поднимаются и опускаются с помощью метрического тензора Tjoi ~ (—1, I, I, 1); a-матрицы суть четыре-векторы саай ~ (1, а), (д)аай ~ (1, — а) оадь + аьЗи = — 2тіаЬ. Мы будем часто пользоваться спинорными обозначениями и представлять векторный индекс через два спинорных — с точкой и без точки:

^«4-0*04^ У а----------

2) Знаковый множитель определяется условием: m = 0, когда M — век* ториый индекс, m = 1, когда Al —спинорный индекс (то же для Ь).
154 Р. Гримм, Й. Весе, Б. Зумино

Легко проверить, что если Vа, Ua — тензоры, то 2DbVa, @>bUa тоже являются тензорами.

Определим теперь тензоры кривизны и кручения. Для этой дели удобно ввести форму, соответствующую реперу, Ea = = LIzmEma, и форму связности Фав = йгмФмав- Кручение определяется через внешнюю производную формы репера:
Предыдущая << 1 .. 50 51 52 53 54 55 < 56 > 57 58 59 60 61 62 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed