Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
9. Алгебраические мотивировки суперпространственных связей 173
щихся алгебраическими комбинациями других полей. Для определенности выберем следующий набор связей:
Связь Суперполе, для выражения
которого служит эта связь
Tab= 0, Ф аЬ0. (2.1а)
P Il о •CO. © (2.16)
V=0’ Фар", (2.1в)
•) (2. Ir)
V-7ra6c(^V = 0J я." (2.1д)
и аналогично для комплексно-сопряженных. Примером иного
выбора может служить замена связи Таь‘ : = 0 на Rafibc = 0, ко-
торая может быть достигнута переопределением Фаьс-
Необходимо заметить, что при задании калибровки на всем касательном пространстве с суперлоренцевой структурой становится невозможным выражение Еам через. Еам, E&M. Таким образом, геометрия Арновитта — Ната касательного пространства [12] с необходимостью требует большего числа независимых фундаментальных полей, чем найдено в супергравитации.
Связи второго типа дают возможность существования ки-ральных скалярных суперполей в локальной суперсимметрии
[II]1), поскольку они являются условиями интегрируемости дифференциальных уравнений, определяющих киральные суперполя. Определяющее условие кирального скалярного суперполя в искривленном суперпространстве имеет вид
0аФ = О. (2.2)
Применение другой фермиевской ковариантной производной Ф р и симметризация дают условие интегрируемости
О = {?>„, <?>($} Ф = - 7V2tyI> - Таьс2>сФ, (2.3)
откуда
T у — О
1 ар — uI
T с = О
1 ар U
и то же для комплексно-сопряженных.
Связи третьего типа тоже могут быть выбраны по-разному, но в отличие от связей первого типа различные варианты выбора не связаны переопределением полей. Было показано [4, 11], что эти различные варианты обусловлены двумя неэк-
(2.4а)
(2.46)
') Такое наблюдение имеется в работе [13]. Это было также независимо отмечено С. Феррарой и П. ваи Нивенхюйзеном (частное сообщение).
174 С. Джеймс Гэйтс, К. С. Стелли, П. К. Вест
Бивалентными наборами вспомогательных полей, которые были введены в супергравитацию.
Один вариант связей третьего типа задается формулами
(аналогично для комплексно-сопряженных). Этим завершается набор связей, который, как можно показать с помощью тождеств Бьянки, эквивалентен набору, выбранному Вессом и Зу^ мино [3]; он приводит к формулировке супергравитации, использующей минимальное число вспомогательных полей [1].
Другие возможные варианты выбора связей [11] образуют
где R = Ra^. Для конечных значений ? все эти варианты ведут к неминимальной структуре вспомогательных полей [9].
Мы подчеркнули, что кинематические связи в супергравитации не зависят от выбора динамической системы. В частности, это означает, что они применяются и к супергравитации Пуанкаре и к конформной супергравитации. Поэтому группа инвариантности связей должна содержать преобразования супер-конформной теории. Ho тщательное изучение суперконформных преобразований показывает, что требуется специализация вспомогательных полей, используемых в теории. Действительно, имеются две различные версии суперконформной группы в суперпространстве, отличающиеся по их действию на соответствующие вспомогательные поля, ассоциированные с двумя различными вариантами выбора связей третьего типа.
Выбор связей, даваемый уравнениями (2.1а — д), (2.4а, б) и (2.5а), инвариантен относительно киральной конформной группы [7], имеющей в качестве параметра киральное скалярное суперполе. В противоположность этому выбор связей, даваемый уравнениями (2.1а — д), (2.4а, б) и (2.56), инвариантен относительно линейной конформной группы [8], параметром которой служит линейное скалярное суперполе.
3. Супергруппа Вейля
Существование двух различных версий суперконформной группы в суперпространстве, связанное с двумя возможными ограничениями третьего типа, наводит на мысль о существовании общего формализма локальной суперконформной инвариантности, дающего алгебраическое истолкование этих связей. Необходимость такого общего формализма подсказывается также и контрастом между обычным простым обобщением общей
Ta^Tj = О
(2.5а)
множество, параметризованное числом ? = —
(2.56)
9. Алгебраические мотивировки суперпространствешых связей 175
ковариантности в пространстве до общей ковариантности в суперпространстве и довольно сложным выражением локальной суперконформной инвариантности [7,8].
He стремясь уменьшить число компонентных полей в суперполе, параметризующем суперконформную группу, путем наложения с самого начала ограничений на их вид (линейный или киральный), мы будем действовать по прямой аналогии с формулировкой инвариантности Вейля в общей теории относительности. Действие супергруппы Вейля на супергравитационные поля сводится к умножению фундаментальных суперполей (Еам, F&M) на общее комплексное скалярное суперполе. Чтобы включить локальные киральные преобразования в группу, надо рассмотреть комплексное суперполе. Преобразования (Еам, Елм) имеют вид
Ea“-+EaM = eLEaM, (3.1а)
Е&м -* Ёйм = е1*Еьм, (3.16)
где L — общее комплексное скалярное суперполе.
Так как связность Фмьс и векторные компоненты репера Еам будут выражены в терминах (Еам, Е&м) в результате разрешения стандартных связей первого типа, их преобразования могут быть просто фиксированы преобразованиями фундаментальных полей. He вдаваясь в детали зависимости между (Фмьс, Еам) и фундаментальными полями (Еам, Е&м), напишем самые общие преобразования, сохраняющие форму ковариантных производных: