Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
«Л-«Я* W-5?r- <4>
При замене координат он преобразуется как тензор по своим мировым индексам:
/_ ^ ( w 1-(1 M 1+1 A 1+1 JVD+UMMI dz'^ сл
\ N=n, vl, -W
dz
(5)
Под действием структурной группы репер преобразуется как
6еА = — GABeB, (6)
где Gab — генератор группы.
В супергравйтации эти генераторы имеют следующий вид. Лоренцевы генераторы суть
(Gab)/ О О
(Gab)C0= 0 (<We*' 0
о о (оаЬ)\б\
где (Gab)Cd=—(Ласбг^ — r\bc&ad)¦ Генераторы группы внутренней симметрии Gi имеют вид
0 0 0
(7)
(Gi)Cd =
0 Sy6Gjk1 0 0
0
(8)
Мы принимаем (Gik1)* = —Gnk в соответствии с тем, что при сопряжении верхние и нижние индексы внутренней симметрии меняются местами.
Кривизна является 2-формой со значениями в алгебре Ли, поэтому ее компоненты антисимметричны:
Rabq = -Rbaq- (9)
8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации 165
Индекс G пробегает индексы генераторов группы Лоренца и генераторов внутренней симметрии Gi. Кручение и кривизна подчинены тождествам Бьянки, первые из которых имеют вид
D{aT BC)D + T [АВВТ EOd + R(ABC)0 = о. (10)
Здесь фигурные скобки означают циклическую сумму по трем заключенным в них индексам, Rabcd заменяет Rab0Gqcd. Поскольку многие матричные элементы генераторов равны нулю, оказывается возможным выразить с помощью первого тождества Бьянки кривизну через кручение и его ковариантные производные. Например, выбрав ChD векторными индексами, получим сразу такие выражения для всех спинорных компонент лоренцевой кривизны. Имеем
Ralfijcd = (^aiTpjcd + ^frjTaicd + ^cTaifrd + ТащЕТ Ecd +
Введем для краткости
T ABC0 = ®{аТ ВС?+ Т(АВЕТ ncf. (H)
Результирующие выражения для кривизны приведены в конце данного раздела (выражения (12)).
Структура индексов ST должна дать возможность читателю проследить, из какого именно тождества Бьянки был выведен результат. Некоторые из результатов для кривизны все еще содержат уравнения для кручения. Например, тот факт, что
Raifrj1Gjk =~2
накладывает на кручение условие, заключающееся в том, что правая часть должна быть пропорциональна генератору.
Если результаты для кривизны подставить опять в первые тождества Бьянки, то останутся одни только ограничения на кручение:
Raifrjd = aifrjc > Raifrj1Glk = ~2 aifrj11 ^k,
г> _ _ or d D 1Ci 1__ J_ or iW
Aat с — и ai с » *^ab yjIk 2 abyk »
d___ d ^^ ся“ЫЬ\ уI
A с — с > A yjIk 2 yk *
Rabcd = ~4 (!Tabyl61 Mt? + T (Scd)M -
n = бД Rai. JGlk1 = I Taib^k, Rftib1Glk1 = - і Ti*byky‘,
Ralbcd = ~j- {0Cd)\Taib^k -~^{0Сй)у&Taib^ - (12)
- -^FT ^bib^h + Уыь\н + r6hb\),
166 Н. Дрэгон
Ritibcd =— (<УсАу ^bynh - -Tf (*«Л 0”"Л -
- тгЬг^А (^W + VhiUk + ^hkbXki). RjilGlk 1 = - 4 іГаі*'у* + i- ^e4 Vі +
+ J (Uay ^JicX - j (оы)аУ TjicX1.
4. Вторые тождества Бьянки
Мы выразили кривизну через кручение; осталось выяснить, какие условия накладываются на кручение вторыми тождествами Бьянки
®{aRb® de + Г {AbbRfc} de = 0. (13)
Это дифференциальные уравнения второго порядка. Нужно заметить (это проверяется явными выкладками [4]), что в обычной супергравитации вторые тождества Бьянки следуют из первых тождеств Бьянки и уравнения первого порядка
[&а> ®в\ Tcde = RabcfTfde + RabdfTсре —
-RabfeTcdf-Tabf^fTcJ (14)
(коммутатор двух ковариантных производных является преобразованием структурной группы и ковариантной производной) .
Мы покажем, что без каких-либо ограничений на кручение и на границу внутренней симметрии второе тождество Бьянки следует из уравнений (10) и (14).
Для этого докажем общую лемму и затем используем свойства генераторов структурной группы. Введем сокращение
MAbcdb ¦= S){aRbc) db + T(ABfRfc) db- (15)
Лемма. Уравнение
Mabcde — ^bcdae "Ь ^cdabe ^dabce — 0 (16)
следует из уравнений (10) и (14).
Лемма доказывается непосредственно: нужно собрать члены, содержащие производные циклической суммы R{Abc) заменить R{abc) D его выражением через кручение, далее использовать
(10); вторые производные кручения, возникающие при такой замене, включают только коммутаторы, которые выражаются с помощью (14). После этого все члены сокращаются вследствие (Ю).
8. Кручение и кривизна в теории расширенной супергравитации 167
Учтя теперь свойства генераторов структурной группы, мы видим, что из равенства нулю (16) следует равенство нулю Mabcde, что и составляло наше утверждение.
Заметим сначала, что Mabcde имеют структуру генераторов по отношению к последней паре индексов, поэтому Mabcde по определению равно нулю, если последняя пара индексов не имеет той же структуры индексов, что у генератора. При данной структуре индексов А, В, С легко найти такие индексы D, Е, что циклическая сумма (16) содержит не более двух членов. Например, если А, В, С — спинорные индексы, то, выбирая D, E векторными, немедленно получаем
Если А, В, С содержат не более одного типа спинорных индексов (с точкой или без точки), то выбор D, E спинорами другого типа и взятие следа дает
Возьмем все индексы спинорными. Заметив, что лоренцева часть обращается в нуль из-за (17), получаем из (16) следующее уравнение для компонент Mai^kl:
