Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
где полностью симметричен. Это в свою очередь означает, что
^a^dc + &dQca ""t- ^ C^ad ~ '
откуда вытекает (Ь).
Покажем теперь, как из соотношений (а), (Ь), (с) и (d) получается уравнение Эйнштейна. Имеем
Rmn, а3 = EmdEhcRcd, ав ( ^nd-Из структурного уравнения находим
Rmnab = дпФтаЬ - дтФпаЬ - Фта1Фп1Ь +
Поэтому при 0 = 0 = 0 мы получаем
D Ь і __ ля Ь
1^mna 0 — inTnna
— обычный тензор кривизны 4-пространства. С другой стороны,
RmJ = EmdE," R,J + EJe„° R'J + EmdEj-R4 +
+ S.A4V + BJBJtJ.
так как из (а) следует Ry6Ob = 0. При 0 = 0 = 0, используя также (Ь), получаем
01 = е de cR . . — і(е cib e — е cib a ,.Q .* —
тпаЬ т п 4cdab \ п т ) с бд аЬ
- * O/Іпй - em\b) Gazabo U0 ‘
Используем теперь матрицу, обратную к тетраде emd, и соотношения RcdOd= 0 (d) и ObeyQbd* = 0 (7). В очевидных обозначениях для 4-пространства
OS d___3 тз п г> d
inrObc са СЬ *\пте
мы получим уравнение Эйнштейна
+“Ш* Jo^ J +
Напомним, что мы уже вывели равенство
= t ёЬтё°П (°п^та - DmW).
Таким образом, мы получили динамические уравнения супергравитации, т. е. уравнение Эйнштейна, уравнение Рариты — Швингера и связь между кручением и плотностью спина в форме, впервые полученной Дезером и Зумино в их статье по су-
6. Суперсимметрия — супергравитация 149
пергравитации. Мы достигли этого результата, используя только геометрию суперпространства.
Я хочу поблагодарить Ричарда Гримма за полезные обсуждения и за чтение рукописи.
Обозначения
Лтп = (-1, I, I, 1),
8O 1 2 3 = 1 >
= CTm4f5 = O, —Cf),
= L{omen-onem),
Omn = ^(OmOn-OnOm),
8оР, еД0. е12 = — 821=1, S11=S22 = O,
Pttf5P = 6°
PY Y*
Х° = 8“%, Xй =
хф=Ха,Фа, =
UaWa = UaWa + UaWa + UiWil.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Zumlno В., Proc. 17th Intern. Conf. on High-Energy Physics., 1974 (Ed. J. R. Smith) (Rutherford Lab.. Chilton, Didcot. U. K., 1974). p. 1—254; Salam A., Strathdee I., Phys. Rev., Dll, 521 (1975);
Ferrara S., Rivista Nuovo Cimento1 6, 105 (1976);
Fayet P., Ferrara S., Supersymmetry, Phys. Reports (to be published).
2. Freedman D. Z., van Nleuwenhulzen P., Ferrara S., Phys. Rev., D13, 3214 (1976);
Deser S., Zumlno B., Phys. Lett., 62B, 335 (1976);
Freedman D. Z., van Nleuwenhuizen P., Phys. Rev., D14, 912 (1976); Grisaru М. T., van Nieuwenhulzen P., Vermaseren J. A. M., Phys. Rev. Lett., 37, 1662 (1976);
Breitenloher P., Phys. Lett., 67B, 49 (1977).
3. Zumlno B., Proc. Conf. on Gauge Theories and Modern Field Theory Northeastern Univ., Boston, 1975 (Eds. R. Arnowitt and P. Nath) (MIT Press, Cambridge, Mass., 1976), p. 255;
Wess I., Zumino B., Phys. Lett., 66B, 361 (1977).
4. Flanders H., Differential Forms, Academic Press, 1963.
5. Акулов В. П., Волков Д. В., Сорока В. А., Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 396.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
6. Nath P., Arnowltt R., Phys. Lett., 56В, 177 (1975).
7. Arnowitt R., Nath P.. Zumino В., Phys. Lett., 56В, 81 (1975).
150 Й. Весе
8. Amowitt R., Nath P., Phys. Rev. Lett., 36, 1526 (1976); Nucl. Phys., B122, 301 (1977); Phys. Lett., 65B, 73 (1976).
9. Ferrara S., GlCozzi F., Scherk I., van Nieuwenhuizen P., Nucl. Phys., B117, 333 (1976).
10. Ferrara S., Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Breitenlohner P., Glioz-zi F„ Seherk I., Phys. Rev., D15, 1013 (1977).
11. Das A., Fishier M., Roeek M., Preprints ITP-SP-77-15 and ITP-SB-77-38, 1977.
12. Cremmer E., Seherk 1., preprint DAMTP 77/7, 1977.
13. Ferrara S., Seherk I., van NieuwenhuCzen P., Phys. Rev. Lett., 37, 1037
(1976).
14. Freedman D. Z., Schwarz J. H., Phys. Rev., D15, 1007 (1977).
15. Freedman D. Z., Phys. Rev., D. (to be published).
16. Gliozzi F., Scherk J., Olive D., Phys. Lett., 65B, 282 (1976); Nucl. Phys., B122, 253 (1977).
17. Ferrara S., van NCeuwenhuizen P., Phys. Rev. Lett,, 66B, 1669 (1976).
18. Ferrara S., Seherk I., ZumCno S., Phys. Lett., 66B, 35 (1977).
19. Freedman D. Z., Phys. Rev. Lett., 38, 105 (1976).
20. Das /4., Preprint ITP-SB-77-4, (1977).
21. Gremmer E., Scherk I., Algebraic simplifications in supergravity theories, DAMTP preprint, Cambridge, England.
7. Полное решение тождеств Бьянки при учете супергравитационных связей в суперпространстве
Р. Гримм, И. Весе, Б. Зумино
Grimm R. and Wess J.1), Zumino В.2), Nuclear Phys., В152, 255 (1979)
Короткое обсуждение суперпространствениой формулировки супергравитации; исследуются тождества Бьянки. Накладываются супергравитационные связи и дается решение тождеств через суперполя и их ковариантные производные.
1. Введение
Супергравитация может быть определена как геометрическая теория в суперпространстве [1—4]. Преимущество такого подхода состоит в том, что имеется математический аппарат дифференциальной геометрии в суперпространстве, с помощью которого могут быть получены мультиплеты, образующие тензоры и тензорные плотности.
В работе [5] было показано, что все мультиплеты, использовавшиеся в компонентном формализме [6, 7], могут быть получены из суперполей, имеющих определенный геометрический смысл. Более того, тензорное исчисление в компонентном формализме есть непосредственное следствие суперполевой природы соответствующих величин. Динамика чистой супер гравитации может быть построена, исходя из лагранжевой плотности в суперпространстве, которая оказывается инвариантным элементом объема. Могут быть сконструированы суперковариантные контрчлены и записаны суперковариантные взаимодействия с полями материи [8].