Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
- (- 1Г EdmEenOnФмав + (- 1)е {а+с)ФОАСФЕС\
Чтобы как-то представить себе характер разыскиваемых нами уравнений, вычислим кручение Q0 для плоского пространства: Ea = еА, ФАв = 0. Получим
OV-OV-2toV
Все остальные компоненты кручения нулевые. Можно попытаться постулировать эти уравнения и для общего случая:
^V=qV=2toV
остальные компоненты нулевые. Для нашего выбора структурной группы эти уравнения ковариантны. Можно, однако, показать, что они имеют единственное решение — плоское пространство Ea = еА. Следовательно, нужно ослабить наши уравнения. Линеаризовав уравнения поля подстановкой
EMA = eMA + kHMA и явно их решив, можно показать, что из уравнений
a*/=%а = ^=V=V==°> s^=V=2^V
следуют только алгебраические соотношения. Это сводит число динамических независимых полей в точности к одному полю спина 2 и одному — спина 3/2. Ho можно решить и полные, не-линеаризованные уравнения. Можно рассуждать так. Выберем
6. Суперсимметрия — супер гравитация 145
специальную калибровку, в которой при 0 = 0 = 0 тетрада и связность принимают вид
0=0=0,
V=Cw. C-jt'w.
Efi. = 0, Eii = бц , Eрв, = 0,
?/ = 0, Ea*= 0, Ел* = аЛ
ф». a =VИ. аР W-
Поля em“, г1>та, фтаР должны быть отождествлены с обычной тетрадой 4-пространства, полем Рариты — Швингера и связностью соответственно. Уравнения поля определяют высшие члены по степеням 0, 0 в E и Ф через только что введенные физические поля и через произвольные калибровочные поля, не имеющие физического смысла. Эти методы позволяют вычислить E и Ф за конечное число шагов, поскольку имеется лишь
конечное число мономов по 0, 0, отличных от нуля. Ho мы не
будем здесь этим заниматься, а попытаемся продемонстрировать физическое содержание теории, вытекающее из наших уравнений и тождеств. Уравнение
Qpc = Qpe = 0
определяет динамику в ^-пространстве.
Заметим, что из компонент кручения только Qa6Y, Qa6^ еще не определены. Равенство их нулю означало бы, что мы имеем дело с плоским пространством. Пусть
Q MN = EmaEn Q^a ( 1)
— кручение с мировыми индексами М, N. Из наших уравнений можно получить
^MN = M ad “t" Pd'
Мы видим, что в нашей специальной калибровке
Qmn Ie=S=O = У~тпС = J (¦фтЯ'Ч’п — 'МЧт)-
Это связывает кручение в 4-пространстве со спиновой плотностью поля Рариты — Швингера. Далее
P — P “J7 6D_ P О I3 PaRbО. P
146 И. Весе
где Qba^ нужно выразить через тетраду и связность в силу первого структурного уравнения:
= Em En ^вл^( 1) ¦
=EmaEnb {(-l)b{a+m') EAM%N'dN'Ej - -
-Фв/ + (-1)ЬаФлвР}(-іГ =
= (-1 )пт <W - dMENe - Фш* + (- 1Г Фым*. Интересующая нас компонента Qmn? равна
QmJ = dnEj - дтЕпї - Фтпї + Ф„тР.
Кроме ТОГО,
Ф Лф р P Оф P
так как ФтАв принимает значения в алгебре Ли. При 0 = 0 = 0 в выбранной нами калибровке получаем
Qmn Le_o = = -J ~ + ФЛмі*) =
= \{Dn^)J — Dm^) \
здесь появилась обычная ковариантная производная Dn 4-пространства. В дальнейших выкладках потребуются тождества Бьянки
+ ЙВФВЛ - EBRBA = О, dRAB + RacRcb - ФA0^cb = О-
Более подробно их можно записать в следующем виде:
Ес . ЕвЕа (EamS)mQbcd + ТАВС'ТС>С° - Rab, Л = О, EcEbEa (EamS)mRbcdf + Tabc'RC'Cdf} = О,
где Фм — ковариантная производная, например
®м*А = dMvA + (-1 )Ьт ивФм,ВА,
^mPa = ^MvA Фл*. АВ%)В•
В мои намерения не входит выписывать все компоненты этих тождеств — это могло бы не понравиться издателям. Я приведу только те, которые мне пригодятся в этой лекции. Положим соответствующие компоненты кручения равными нулю, получаем
Redy^ = 2ІОь , (1)
RafiCd = 0, (2)
@$R$b, Cd + Rob, Cd -j- $&Rc'bcd — 0, (3)
6. Суперсимметрия — супергравитация 14?
Redya+ Rydea = O, (4)
Ridf+ RidtP = 0, (5)
Kdca-Kcda = Koa^dcb- (в)
Из (1) следует
ЛА/ = 0, (7)
поскольку Rab принимает значения в алгебре Ли, а наша группа Ли — группа Лоренца. Для 0 = 0 = 0 это уравнение в выбранной нами калибровке есть уравнение Рариты — Швингера.
В самом деле, при 0 = 0 = 0 из QmnV = EmaEnbQbaе получаем
QJ I0=S=O = SbVQnJ I0=S=O = KeamTmn^
Ob^Qbd1 = O превращается в
ObZih “ё/ {Dm\jpny — Dn\j>mY} == 0.
Это и есть уравнение Рариты — Швингера. Чтобы вывести уравнения Эйнштейна, нам понадобятся следующие соотношения:
Rafr, С —(а)
Кь, Cd ~ ^laba^cd^' О3)
Rab. с — 0, (с)
Rab, с= 0. (d)
Соотношение (а) следует из тождества (2); (d) следует из (Ь) и (1); (с) следует из (d) и (3). Осталось доказать (Ь). Из (6) мы видим, что Redya антисимметричен по є и 7, отсюда
Redya = fSeyXda-
Из Redya = 0 следует Xaa = 0; таким образом,
Redya = O. (е)
Из (6) и свойства R&dca = —Redac (алгебра Ли) следует
Kdca = 1 КА/ + ffde А/ + Vet/Pad*} • (9
Мы должны вывести отсюда (Ь). Используем снова тот факт, что Ra3 принимает значения в алгебре Ли:
Re dya =X (fffl^6)Ya Redba,
и из (е) получаем
(оадь)уа Redba = 0.
Отсюда, а также из (Г) и (7) получаем
(оадь)уа Qj = 0.
148 И. Весе
Из этого соотношения, свойства Qabk = — QbJ и из (7) следует
&аь6 = (гдаоь)й(іХ№,
