Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
В случае отсутствия кручения тензор кривизны может быть выражен через тетраду. Связь с римановой теорией устанавливается введением метрического тензора
Smn == ^m &па-
Первое тождество
dzl dzm dzn Qmla = dzl dzm dzn (Йт/Ьф„6а — etbRnmba)
означает свойство симметрии Rnmia + Rmlna + Rlnma =
= &тіЧпЬа + &1пЧтЬа + &пт +
В теории без кручения это в точности циклическое соотношение для Rimna- Второе тождество dF = Fy — cpF принимает вид
dx1 dxm dxn (Jpr Rmij + q>naCRmlcb - RnmaVlcb) = 0.
В случае отсутствия кручения это просто хорошо известное тождество Бьянки.
Лекция 3. Суперсимметричная калибровочная теория
Теперь мы применим методы дифференциальной геометрии к суперпространству. Для того чтобы сделать суперсимметрию более явной, используем для определения плоского пространства обобщенные величины емА, введенные в первой лекции. Структурной группой опять является группа Ли, действующая на р-формах:
Х = ехр{/Л(я, 0, 0)},
А(х, 0, 0)= Z Ь‘(х, 0, В) Tt. і
Матрицы Ti — генераторы группы
Я = оКч
138 Я. Весе
Форма связности
y = dzMqM(x, 0, 0) = 6^(*. 6. 8)
принимает значения в алгебре Ли, т. е.
Фд(дс, 0, 0)=Е VlA{x, 0, б)Г,. і
Эти суперполя суть обобщения янг-миллсовских потенциалов. В соответствии с общими правилами можно написать их закон преобразования
ф' = х~1<$х+х~их,
Ф'А = Х~^АХ+ X-1DaX,
йА-ёА"~Ьг-
Первое структурное уравнение определяет ковариантную производную, скажем, 0-формы а:
Q = da — сгф,
eAQ/ = eADAar — еАа(ц>А/.
Это означает, что выражение
снова преобразуется по линейному представлению. Более того, вследствие нашего выбора тетрады Dao есть суперполе, если а — суперполе.
Второе структурное уравнение F = гіф — фф показывает, как строить тензорные величины из янг-миллсовских потенциалов. Вычислив это выражение:
dq> = еА dyA + deAфл, dq>A = eBDBq>A, deA = eBDBeA, ф . ф = елевфвфл, получаем для F = -J eAeBFВА, Fba = — (— IYbFab формулу
Fba = DbФл - (- l)abDAq>B + ёАм(DBeMc) Фс (- 1ра+т) -
— ёВм ФАемс) фс (— \)Ьт — фвфд + флфв (— \)аЬ.
В этом выражении содержатся следующие тензорные величины, используемые для конструирования ковариантных (лоренц-ко-вариантных, суперсимметричных, калибровочно ковариантных)
6. Суперсимметрия —супергравитация 139
уравнений:
Fab ^tPb дхЬ tPa ”1” ItPfl' tPbl'
Faa дха Фо ^афа 4“ [фа> Фа1>
д ________
Fait = Qxa Фй — ?^йфа 4“ [фа, фй],
Fafi Dab -(- Dgфа -J- (фа, фр},
F^ = DnФ$ + Dflфй + {фй, ф$}>
Fad = ?>афй + Ddфа 4“ 2шаайфа + {фо, фй}.
Мы хотим теперь наложить такую совокупность ковариантных связей, которая бы значительно уменьшила число независимых полей, содержащихся в суперполе фд, не налагая ограничений на их зависимость от координат хп.
Абелев случай
В качестве первого примера я рассматриваю абелев случай. Если мы наложим связь
Fafi = Dc^p Орфа = О,
Ffrfr = -f* = О,
та получим, что существуют такие суперполя V, U, что
Фа = — і DaV, фй = іОйУ.
Потенциалы LI, V определены с точностью только до скалярного суперполя: замена V -> V + 5+, где DS = 0, не меняет ф; то же самое верно для замены
U-+U+ Т. DT = 0.
Следовательно, под действием калибровочных преобразований потенциалы U, V преобразуются следующим образом:
V-*V + A + S+, DS = О,
U-+U — A+T, DT = 0.
Это дает нужные преобразования
Фо-^Фо — iDaA,
Фй -*• Фй — iDfrA.
Если- мы дополнительно потребуем выполнения уравнения Ftf — + °№а + 2/<тЧФа = О,
140 Й. Весе
то фа можно выразить через U, V:
V-DiDJ)-
при калибровочных преобразованиях эти поля преобразуются следующим образом:
Фа Фа — Ід а А.
Таким образом, нам удалось выразить суперполе фЛ через ПОЛЯ U, V. Величины Fab, Faa, Fad тоже суть функции от U, V; мы не можем наложить дальнейшие связи, не ограничив зависимость компонент полей UtV от х (т. е. не написав уравнения поля). Все инварианты могут быть выражены через
IT0 = DDDa (U + V), Wb = DDDb (U + V),
Fm=J Лиг— T »«».*•*..
r«—k {К«Т’ (D,V. + DttWt) + ((CA)** (DaWi + DiWa)].
Из определения Wa, Wd следует
^Wa = 0, DliWi = O, D-Wa-DbW^ = O.
Величина Wa очень похожа на калибровочно инвариантное суперполе Wa нашей первой лекции, за исключением того, что CZ-J-Vr не удовлетворяют никакому условию вещественности. В калибровочно инвариантные выражения входит только U + V. Причина этого состоит в том, что U — V зависит от калибровки и может быть полностью убрана выбором последней:
U-V-+U — V -2А + Т-S+.
Может показаться, что условие вещественности естественно выбрать в виде ф+ = фа (одно вещественное векторное поле). Ho это ведет к соотношению U=V+H сводит калибровочные преобразования к «подгруппе» Л —Л+, S = T. Поэтому если мы хотим иметь калибровочную инвариантность с такой группой, что DA = 0, то условие фа = ф+ слишком сильное. Мы можем ослабить это условие, потребовав, чтобы фа = ф+ с точностью до калибровочных преобразований. Это дает U + V = = (?/-(-V)+, и калибровочная группа ограничена только условием S=T. Если мы выберем калибровку с U=O, то останется подгруппа A = S, которая будет калибровочной группой.
