Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
•) Лекции, прочитанные на Восьмом международном семинаре по теоретической физике, Саламанка, Испания, 13—19 июня 1977 г.
2) Institut fur Theoretische Physik, Universitat Karlsruhe, West Germany.
© Springer-Verlag
© Перевод на русский язык, «Мир», 1983
126 Й. Весе
рианты могут быть использованы для записи ковариантных полевых уравнений и лагранжианов.
В третьей лекции мы изучим, используя эти методы, одну SU(N)-калибровочную суперсимметричную теорию. На этом примере можно ознакомиться с упомянутыми выше техническими приемами.
В последней лекции мы применим развитые методы для построения некоторой теории супергравитации.
Лекция 1. Суперсимметрия Алгебра
Алгебра определяется следующими соотношениями:
[/3т, Pл] =3 0. тj Qa] — [/3т, Qd] 0,
{Qa> == й$Лп»
{Qo> Qp}= {Qd» Q/s} ~
где Pm — оператор 4-импульса, Qa — вейлевский спинор, комплексно-сопряженный к нему спинор.
Суперпространство
Мы хотим найти представление этой алгебры дифференциальными операторами. Для этой цели мы определяем суперпространство. Оно состоит из обычного 4-мерного пространства и набора антикоммутирующих переменных 0“, 0й. Элемент этого пространства будет обозначаться через
Zm ~ {хт, Є*, 0*}.
Индексные обозначения следующие: латинские строчные буквы (т) служат для обозначения компонент лоренцева 4-вектора, греческие буквы ({і, {і) — для компонент лоренцева спинора, латинские прописные буквы (M) означают общий суперпростран-ственный индекс.
Генераторы
Определим «конечный» элемент группы:
G (X, 0, 0) = exp і {0“Qa + 0й<Э* - XmPm)'
Пользуясь формулой Хаусдорфа, находим G (у, І, I) G (х, 0, 0) = G (* + г/ — /|сг0 + i'0crg, 0 + g, 0 + g).
ё. Суперсимметрия — супергравитация 127
Элемент «группы» G (у, 1,1) индуцирует движение в супер-йространстве:
G(У, I, !):{*, 0, Q}-*{x + y^itaQ + iQal 0 + ?, 0 + |}. Инфинитезимальные генераторы этого движения суть
P = і____—
m 1 dxm ’
что дает представление нашей алгебры.
Ковариантные производные
Представляет интерес изучить касательные «векторные поля» к кривым, порожденным элементами группы на суперпространстве. Они порождают так называемые ковариантные векторные поля, которые инвариантны по отношению к действию группы. Это означает, что групповые генераторы коммутируют (антиком-мутируют) с векторными полями. Поэтому их нетрудно строить следующим способом. Благодаря закону ассоциативности
(G(y, І, І) G (х, 0, 0))(3(2, A, A) = G (у, I, l)(G (х, 0, 0)<3(г, А, А))
эти векторные поля могут быть получены как инфинитезимальные преобразования, соответствующие правому умножению на элементы группы
m
(30е н дхт
Эти «ковариантные» производные удовлетворяют соотношениям
{Дх» Qp} = {D&> Qp) = {^а’ Q$) ~ {Al’ ОД =
Введем обозначение
128 Я. Becc
Тетрада
Напишем явное выражение
б/ о
— г0е<ттр?е‘?й 0 — б?
О О
Мы будем называть емА обобщенной тетрадой плоского пространства.
Суперполя
Функции от Zm называются суперполями. В качестве примера рассмотрим вещественное векторное суперполе, для которого
Каждое суперполе нужно понимать как степенной ряд по переменным 9, 0, который автоматически будет полиномом по
V(х, 0, Q) = C(x)+iBx(x)-ih(x) +
+ { 09 (М (X) + IN (X)) - { 00 (М (X) - IN (х)) -— 9am0i>m (я) + /000Я (я) — j Шт% (х) amQ —
- І999Я (х) + j Шатдтх (х) + 9699 (|-D (*) + j ? С (л:)) .
Закон преобразования поля легко получается из определения
6К = 6С-Н96Х+ ... +0999 (±6D + j a6C) = (iQ + l9) V,
V(x, 9, 9) = V+ (х, 9, 9).
9, 9:
6. Суперсимметрия —супергравитация 129
где Q, Q — определенные выше дифференциальные операторы. Почленное сравнение дает
SC = і (їх — їх),
«X = І (М + IN) + OmI (dmC + ivm),
Ьх = Ш~ Ш) + |ат (дтС - ivm),
W -1 (ІХ - атдтх) + K-H + атдтх),
6М = І (X + іотдтх) + 1(1 + ідтдтх), dVm = \дтх + IdmX + ildm% + ЦдтХ,
6А = Iamn (dmvn — dnvm) + %D,
6Л = Idmn (dmvn — dnvm) +1D,
6 D = -\amdmX + %amdmX.
Заметим, что компонента высшей степени по 0, 0 изменяется на полную пространственно-временную производную. Следовательно, проинтегрированное выражение инвариантно относительно преобразований суперсимметрии. Из определения QhQ легко видеть, что этб всегда справедливо. Произведение супер-полёй дает снова суперполе. Это позволит нам конструировать суперсимметричные лагранжианы.
Ковариантные производные могут быть использованы для наложения связей на суперполе; это можно делать так, чтобы избежать уравнений в пространстве хт. Например, скалярное суперполе определяется как комплексное суперполе 5, удовлетворяющее условию DaS = 0.
Компоненты S + S+ могут быть отождествлены с компонентами V; тогда
C = A + A*, X = — Х = % vm = — idm (А — А*), N=-(F + F*}, M = -i(F-F*), X = O, D = 0.
Мы не накладываем ограничений на компоненты скалярного суперполя — поля А, х, F- Скалярное суперполе мы используем для определения калибровочных преобразований.
Калибровочные теории
Абелев случай. Определим калибровочное преобразование V^V+i( A-A+), DA = O, DA+ = O. Компоненты полей vm, X, D преобразуются по закону vm-*vm+dm(A + А*), Х-*Х, D->D.
