Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
5. Перспективы теорий супергравитации 113
водимому представлению (2,4) группы 5?/(2)Х USp(4) ~ ~ 50(3)X 50 (5) с 50 (8). Из диаграммы Дынкина для группы D4 [27] следует, что группа 50(8) имеет три неэквивалентных восьмимерных представления 80> 8, 8', разлагающиеся относительно 50(3)Х50(5) на (2,4), (2,4), (3,1) + (1,5). Таким образом, в фундаментальном массивном супермультиплете расширенной N — 2-суперсимметрии фермионы и бозоны преобразуются относительно SU(2)X USp(4) как (2,4) и (3,1) + (1,5) соответственно.
Можно построить и более общие представления суперсимметрии. Например, можно ослабить условие на клиффордов вакуум Q, предположив, что он принадлежит нетривиальному представлению группы вращений, генерируемой оператором Паули — Лю-банского — Баргмана, и группы внутренней симметрии. В этом случае общее неприводимое массивное представление расширенной yV-суперсимметрии будет определяться несколькими операторами Казимира: суперспином и операторами Казимира внутренней симметрии [23,28]. Используя суперполевой язык, операторы Казимира легко записать в терминах ковариантных производных. Действительно, если во всех предыдущих выражениях заменить операторы Qa на ковариантные производные Da, то мы получим операторы, коммутирующие с генераторами суперсимметрии, так как {Da, Qp) = 0. Поэтому операторы Казимира, построенные из Da, можно использовать для классификации неприводимых представлений расширенной УУ-суперсимметрии. В табл. 1 приведены некоторые массивные представления
Таблица 1
Некоторые массивные представления (без центральных зарядов)
J JV \ 5 2 2 3 2 1 1 2 0
1 2
1 2 1
1 1 2 1
1 2 1
1 4 5
2 1 4 5 0 1 4
1 4 501 4 1
1 6 14 14
о 1 6 1401 1406 14
4 1 8 27 48 42
5 1 10 44 110 165 132
114 С. Феррара
расширенной W-суперсимметрии (до N = 5 включительно). Массивные представления расширенной Л'-суперсимметрии имеют размерности
d ^ Xda, (23)
где dQ — размерность клиффордова вакуума. При наличии центральных зарядов массивные представления могут иметь меньшие размерности [29,30]. Рассмотрим несколько примеров. В расширенной суперсимметрии N = 2п массивные мультиплеты с- центральными зарядами имеют размерность 22п+1 вместо 24п и область изменения спинов 0 ^ / ^ п/2 вместо 0 ^ / ^ п. Эти 22"+1 состояний являются дублетом массивных представлений расширенной л-суперсимметрии без центральных зарядов. Они классифицируются по представлениям внутренней группы U(I)X USp(2n) (вместо USp(An)). В табл. 2 приведены некоторые массивные представления с центральными зарядами.
Таблица 2
Некоторые массивные представления (с центральными зарядами). Комплексные представления
J 3 2 1 1 2 0
1 2
2 1 2 1
1 2 1
1 4 5
4 1 4 5®1 4
6 1 6 14 14
Обратимся теперь к безмассовым представлениям. В этом случае можно выбрать Р^ = (1,0,0,1). Подалгебра стабильности Pt* принимает вид
{<& Qfl = (1 + "з)./', {«і. «8 - °- <24>
Из (24) следует, что Q2 = 0, и клиффордова алгебра состоит
из N операторов рождения и уничтожения. Положив Qi = Q1
и изменив нормировку Qt в -у/2 раз, получим
(Qi1Qy) = Si'', (Qi1Qy) = O. (25)
Если определить теперь вещественный вектор Г Q1+ Qi I(Qi-Qi)
S. Перспективы теорий супергравитации 115
то (25) становится клиффордовой алгеброй группы SO (2N). Фундаментальный безмассовый мультиплет расширенной N-cy-персимметрііи совпадает со спинорным представлением SO (2N) и имеет размерность 2N. Нас будет интересовать разложение SO (2N) относительно U(N), соответствующее включению N + -\-N = 2N фундаментального представления SU(N) в векторное представление SO (2N). В случае M = О внутренняя группа USp(2N), определенная в (21), сводится фактически к группе U(N) с генераторами
f‘i = Tli + Tii + і (Tti -T'1), Tii=JiQi, Q1]. (26)
?/(1) -генератор Г = —-[Qi, Q'] связан с внутренней спираль» ностью Л = j Q-Qt (AQ = 0) следующим соотношением:
T = A--J- . (27)
В пространстве, натягиваемом векторами Q, QiQ........Q'1 ...
___QlkQ, ...,спектр T пробегает значения от —N/4 до N/4.
Если определить_спиральность группы Пуанкаре как оператор, преобразующий Qt обратно преобразованию Т, то суперспираль-ность дается суммой Г+ Г; она является оператором Казимира для безмассовых представлений. Для СРТ-самосопряженности данного мультиплета необходимо, чтобы Г + T = 0, т. е. ГЯ = = N/4?2. В этом случае мультиплет содержит полный набор спиральностей (вместе с противоположными) 1/2(N/2 — k), k =
= 0.....N, принадлежащих неприводимым представлениям
SU(N) вида [NX NX ••• XiV]*. Если Ш = и ХфЫ/4, то к мультиплету с суперспиральностью X — N/4 следует добавить СРТ-сопряженный мультиплет с противоположной суперспиральностью N/А — X. Это означает, что VQ'= (N/2 — Я) Q'. Заметим, что мультиплет не может быть CPT- самосопряженным при нечетных N. Размерность клиффордова вакуума можно увеличить, предположив, что он преобразуется по некоторому неприводимому представлению R киральной группы SU(N). В этом случае СРТ-самосопряженное представление алгебры суперсимметрии получается сложением двух представлений с противоположными суперспиральностями и клиффордовыми вакуумами, преобразующимися соответственно по представлениям R и ? группы SU(N). Дублирование представлений необязательно, если суперспиральность равна нулю и если R является самосопряженным представлением группы SU(N). Размерность произвольного представления равна 2Ы X dim R в случае нулевой су-перспиральности и 2"+1 X dim R в остальных случаях. Из предыдущих рассуждений следует, что для СРТ-самосопряженного безмассового мультиплета минимальный интервал изменения