Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
РЧ’Лр) = 0- Mi» (P) = PnY^ (P). (12)
Уравнения (12) сводят число компонент фц(Р) к четырем. Чтобы они сводились далее к двум физическим компонентам, матричный элемент 5 должен обращаться в нуль при подстановке = Zpll, где еа — константный майоранов спинор. Легко проверить. что борновская амплитуда одногравитонного обмена не удовлетворяет этому требованию и что 5-матрица обращается в нуль только при добавлении к бо'рновской амплитуде контактного члена из (10). Существует простой довод, показывающий, что этот добавочный член может быть только четырехфермионной связью и что контактные члены с большим числом полей спина 3/2 не достигают цели. Рассмотрим рассеяние п гравитино в древесном приближении. Рассеяние может происходить, в частности, путем обмена гравитино гравитонами (трилинейная связь). В таких диаграммах гравитационная константа связи у. всегда появляется в степени 2(п— 1). Предположим теперь, что мы подставили "Фц (P)=8^V просуммировали все вклады в S-матрицу и убедились, что она не равна нулю. Это означало бы, что в лагранжиан следует добавить выражение типа gW?"1 (?^)", где дт обозначает m-кратную производную и опущены лорен-цевы индексы. Простые размерные соображения сильно ограничивают возможный вид таких членов: из кинетической части действия следует, что размерность равна (D—1) /2 в единицах массы, где D — размерность пространства-времени, которую
5. Перспективы теорий супергравитации 111
мы не фиксируем. Тогда размерность константы связи g2n равна [&ЯІ = D — п {D — 1) — т.
Такие контактные члены должны соответствовать возможным калибровочно неинвариантным членам, у которых g2n ~ и2(л-1). Так как [и] = (2 — D)/2, то для совместности необходимо
2 (п — I) - ~ D = D — п (D — 1) — т, т. е. п = 2 — т.
Для любого D возможно единственное решение т = О, п = 2. Следовательно, лагранжиан супергравитации в пространстве-времени произвольного числа измерений может содержать контактный член только в виде четырехфермионной связи без производных.
3. Симметрии расширенных супермультиплетов
В любой суперсимметричной теории частицы и соответствующие им поля объединяются в супермультиплеты. Супермульти-плет полей состоит из набора обычных полей с разными спинами, статистиками и свойствами внутренней симметрии. В этом разделе мы опишем достаточно подробно структуру массивных и безмассовых мультиплетов расширенной yV-суперсимметрии и их свойства относительно внутренней симметрии. Предполагается, что состояния из этих мультиплетов должны описываться асимптотическими полями суперсимметричных квантовых теорий ПОЛЯ. Согласно Саламу и Стратди [23,24], для построения супермультиплетов частиц используется вигнеровский метод индуцированных представлений. Положим временно в алгебре суперсимметрии (2) Zii = Zi/ = 0 (сектор нулевых центральных зарядов). Рассмотрим сначала подалгебру стабильности времениподоб-ного вектора Р» = (М,0), где M — масса, общая для всех состояний данного массивного супермультиплета. В представлении Майораны подалгебра стабильности приобретает вид (Af=I)
{Qa, Q?} = 6ap6‘'\ a, P= I, ...,4, і, / = 1, ..., N. (13)
Антикоммутаторы (13) определяют клиффордову алгебру группы SO (4N). Ее единственное неприводимое представление имеет размерность 22N. Оно распадается на два неэквивалентных неприводимых спинорных представления SO(AN) размерности 22аг—х Используя двухкомпонентные вейлевские спиноры, перепишем (13) в следующем виде:
{QL Q$ = 6a$6", {Qa, Qp) = о, а, р = 1, 2. (14)
Qa, Qd удовлетворяют алгебре 2N ферми-операторов рождения и уничтожения. Рассмотрим клиффордов вакуум Q, определяемый
J12 С. Феррара
условием
QiQ = O1 Va1 L (15)
Над ним можно построить 22Ы состояний
Q. Q&Q. Qii1 Ф. Q...... Q11 .... О6)
‘1 ‘2 '1 ‘л
Эти состояния классифицируются с помощью оператора спина
Wk = -OfiQia, $>]. (17)
принадлежащего обертывающей алгебре супералгебры Пуанкаре. Если определить 2Л'-компонентные спиноры:
Ql = Qia для г = I,...,N-, Ql = Qai= ей% (18) для a = N + I, ..., 2N, то (13) и (14) переходят в
(OS. Qe) = a, P= I, 2, a, S - 1........2/V,
Q“' = _Q“ = (_° (0.*)- = ?^?. (19>
Алгебра (19) явно инвариантна относительно SU(2)X USp(2N) [25, 26]. 4./У-мерное векторное представление SO(4N) остается неприводимым при редукции
SO(4N)->SU{2)XVSp(2N), 4N-^(2, 2N). (20)
Симплектические генераторы, классифицирующие состояния в (16), имеют вид
Ааь = Таь+ Tba +і [Tab-Tba), Tab = Za^iQaa, Qg]; (21)
они коммутируют с SU(2) -генераторами (17). Два неприводимых спинорных представления SO(AN), соответствующих двум собственным значениям ±1 оператора v4JV+I, разлагаются в сумму следующих неприводимых представлений SU(2)X USp(2N):
2™ = (N + I, I) + (N, 2N) + ...
... +(tf_* + l,[2tfX...X2tf]*) + ...
...+(I, [2tf X •. • Х2П,). (22)
Здесь [2N X ••• X 2 N] k — ^-индексное антисимметричное бес-следовое представление USp (2N). Одно из неприводимых спинорных представлений SO (4N) содержит целые спины (бозоны) разложения (22), а другое — соответственно полуцелые спины (фермионы). 5U (2) -спин J пробегает в спинорных представлениях SO (4N) значения от / = 0 до J = N/2. Рассмотрим для ясности конкретный случай N = 2. В этом примере клиффордо-вой алгебре соответствует группа SO (8) и генераторы Qia, являющиеся векторами относительно SO (8), принадлежат непри-
