Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
1J Обзорный доклад, прочитанный на Международной конференции по математической физике в Лозанне в августе 1979 г.
2) University of Cambridge, D. А. М. Т. P., Silver Street, Cambridge, England.
Springer-Verlag
Перевод на русский язык, «Мир», 1983
98 Г. В. Гиббонс
сообщение).) «Интеграл» в (1) взят по всем возможным многообразиям и топологиям, удовлетворяющим условиям Ь. Буквой Ко обозначен поправочный член, который призван обратить в нуль Действие любой плоской метрики, удовлетворяющей условиям Ь. Для физических приложений важны следующие три Тйпа граничных условий Ь:
Ї) Асимптотически евклидовы (AE), а также асимптотически локально евклидовы (AJIE) (более слабый, локальный вариант). Такие условия отвечают физике вакуума или нулевой температуры [5, 7, 8].
И) Асимптотически плоские (АП), а также асимптотически локально плоские (АЛП) (тоже более слабый, локальный ва-риант). Эти условия отвечают физике конечной температуры [1, 9].
III) Компактные без границы. Используются в обсуждении «пространственно-временной пены» [3, 4, 10].
Определение 2. Метрика ?ар называется АЛЕ, если вне компактного подмножества она стремится к плоской метрике на многообразии вида E4/V. Здесь E4 — плоское евклидово про* странство, Г — дискретная подгруппа в 50(4), свободно действующая на S2. Метрика ga$ называется AE, если в этом определении Г тождественна.
Определение 3. Метрика называется АП, если вне ком* пактного множества она стремится к стандартной плоской ме-трике на S1 XR3.
Определение 4. Метрика gaр называется АЛП, если вне компактного множества она стремится к метрике вида
ds *=* dr2 + 0з + г2 ((Ti -f at),
ГДё {«Ti}—Лёвоинвариантные 1-формы на S3/Г, а Г — группа йзом&грий такой St)(2)X ?/(1)-инвариантной метрики.
АЁ-инстантоны
Теорема 1 (Шоун — Яу [11], ср. [8]). He существует АЕ-ин* Сіантонов, кроме Ё4.
Теорема о положительности действия [11] показывает, что конформно инвариантная часть дейст&ия (в смысле [5]) достигает абсолютного минимума на E4.
АЛП-инстант оны
Теорема 2 (Хитчин, частное сообщение). Если (M, gaр) АЛП и имеет нулевую кривизну Риччи, то яі (M) конечна.
Теорема 3 (Хитчин, частное сообщение). Если (М, gaр) АЛП
И полуплоское (tfapve = ± J Єар^Я^д =** Яар == О) , ТО Зц(М) =
4. Гравитационные инстантоны: обзор 99
= Z2 или Z2 X Z2, и фундаментальная группа на бесконечности действует на универсальном накрытии асимптотически правыми
сдвигами SU(2) на себе (при Aapvd — + — еар^/?^) .
Список дискретных подгрупп SU (2) содержит:
Zk : циклическая порядка k,
D*k: бинарно диэдральная порядка 4k,
Т*: бинарно тетраэдральная,
О*: бинарно октаэдральная,
I* : бинарно икосаэдральная.
Почти нет сомнения в том, что для всех этих групп существуют полуплоские метрики. Они были явно построены Гиббонсом и Хокингом [7] для Zk- Затем Хитчин [13] снова разобрал Zk-случай твисторными методами; он построил также Dk- метрики (частное сообщение).
В координатах (т, х) метрики Гиббонса — Хокинга можно представить в виде
ds2 = U~l (dx + ю • dx)2 + Udx2, (3)
rot ю = grad U, (4)
у = <5>
і-11 11
В случае k — 1 получается плоское пространство E4; k — 2 отвечает метрике Эгучи — Хэнсона [5, 8, 14], которая была открыта ранее. Эти AJIE-инстантоны с группой Zk зависят от 3k — 6 существенных параметров, которые отвечают в точности возможным инфинитезимальным вариациям. Возможно, что они исчерпывают все полуплоские АЛЕ-метрики с T = Zk- Пэйдж (частное сообщение) нашел, какие отождествления приводят к АЛЕ с яі (M) — Z2 и Z2 X Z2. Кроме того, он построил в явном виде скалярную функцию Грина для этих пространств [16].
Атья (частное сообщение) затем дал твисторную конструкцию
этих функций Грина методами когомологий пучков.
Любая полуплоская метрика доставляет локальный минимум действия в классе метрик с R = 0. Это дает повод сформулировать следующий аналог теоремы 1:
Гипотеза 1. Все АЛЕ-инстантоны полуплоские, а группа Г для их универсальных накрытий содержится в SU(2).
АП-инстантоны
К известным АП-инстантонам относятся: S1X/?3 с плоской метрикой, евклидово пространство Шварцшильда и евклидово пространство Керра с мнимым угловым моментом [23].
100 Г. В. Гиббонс
Теорема 4 (вариант теоремы Израэля [ 18J). Пусть (M, ga3) АП с нулевой кривизной Риччи на R2X S2, обладающее полем векторов Киллинга, ортогональных к гиперповерхности. Тогда является евклидовым пространством Шварцшильда.
А. Лапедес (частное сообщение) указал, что несправедливо аналогичное обобщение теоремы Робинсона [19], относящейся к осесимметричным метрикам на R2XS2, допускающим еще одно поле векторов Киллинга, не ортогональное к гиперповерхности. Однако, принимая во внимание теоремы типа «черная дыра не имеет волос» (см. обзор [17]), можно высказать следующее предположение:
Гипотеза 2. He существует АП-инстантонов, кроме плоского пространства, евклидова пространства Шварцшильда и евклидова пространства Керра.
Пространства Шварцшильда и Керра не являются локальными минимумами действия в классе АП-метрик с нулевой скалярной кривизной [32].