Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
АЛП-инстантоны
Если в уравнениях (3) и (4) положить
и=> + Ерг^у (6)
<=1 1 ‘1
то получатся АЛП-метрики типа «мульти-Тауб — НУТ» (см. Хокинг [2]). Границей на бесконечности являются циклические линзовые пространства. Вероятно, эти метрики (а также метрики, отвечающие Dk) можно построить твисторными методами. Конструкция функций Грина, данная Пэйджем, применима также в этом случае.
Метрики (3) и (4) исчерпывают класс метрик с автодуальным полем Киллинга (поле Ka автодуально, если Ка; р автодуально). Можно также охарактеризовать их как метрики с полем Киллинга, для которых формы связности в «очевидном» базисе автодуальны.
Остальные известные явно АЛП-решения не являются полу-плоскими. Это решения Пэйджа [21] и их обобщения с угловым моментом [22]. Можно поставить вопрос: существуют ли более сложные АЛП-метрики? Ответ, по-видимому, будет отрицательным. На языке работы [23] они должны были бы быть метриками типа «multi-bolt», например «мульти-Шварцшильд». Оказывается, эту возможность можно исключить с помощью аргументов, используемых в физике черных дыр. Таким образом, класс АЛП-метрик кажется несколько более богатым, чем АЛЕ, но не слишком.
4. Гравитационные инстантоны: обзор 101'
Компактные инстантоны
Если компактный инстантон допускает поле Киллинга, то А > 0. Известные примеры исчерпываются следующим списком:
1) S4;
2) CP2 [24, 25];
3) S2 X SM25];
4) CP2 # CP2 [26]. :
Многообразие 4 неоднородно. Оно является топологической суммой двух экземпляров CP2 с противоположными ориентациями.'
Все известные примеры с А = 0 полуплоские:
1) SiXS1XS1XS1 (плоское);
2) КЗ с метрикой Яу.
Метрика Эйнштейна — Кэлера на многообразии КЗ известна* лишь в силу неявной теоремы Яу, а также приближенно: она реализуется как результат склейки 16 решений Эгучи — Хэнсона [25, 28]. Многообразия КЗ исчерпывают компактные полуплоские метрики. Возникает соблазн сформулировать следующую; гипотезу: - -
Гипотеза 3. Метрики Яу на КЗ исчерпывают компактные неплоские метрики с нулевой кривизной Риччи.
При А < 0 теорема Яу [27] доставляет обширный класс: примеров, HO ни один из них не известен в явном виде, кроме следующих сравнительно явно описываемых пространств:
1. Пространства постоянной кривизны («анти-де Ситтер» по модулю дискретной группы).
2. Пространства постоянной секционной кривизны (поло-: жить А < 0 в метрике CP2 и отфакторизовать по дискретной группе).
3. Произведения двух двумерных пространств постоянной отрицательной кривизны.
Интересный класс пространств Яу составляют комплексные гиперповерхности степени k^4 в CP3 [30]. При k — 4 это /(3-многообразия.
Огромное разнообразие примеров доставляют более сложные алгебраические подмногообразия в CPn. Однако их числовые характеристики ограничены важными неравенствами; Для" каждого компактного пространства Эйнштейна определим число f формулой
Л Г 5 Vg <Р*
\м
Классическое действие Ieuc тогда равно .... . .
hue ~ — ’ . (§)•.
102 Г. В. Гиббонс
Тензор Вейля удовлетворяет неравенству
л IP /оаРїб I
'-’apvd'-' ^ I ^apvd І»
яз которого следует [29]
2х-3|т|>/2/6я2. (9)
Здесь % — эйлерова характеристика, а т — сигнатура. Равенство
достигается в том и только том случае, когда тензор Вейля авто-
дуален. Из него следует
Х>/2/12я2, (10)
причем равенство достигается при постоянной кривизне. Если метрика gaр кэлерова, то
Зт = C21- 2с2 = C2I- 2%, (11)
где Ci и Сг — первое и второе числа Чженя. Поэтому для метрик Эйнштейна — Кэлера имеем
/ = 2я2сі (12)
и
%>f2I6n2, (13)
причем равенство достигается для автодуального тензора Вейля (т. е. в случае постоянной голоморфной секционной кривизны, как у CF2).
Для алгебраических подмногообразий CPn имеем (Н. Хит-чин, частное сообщение)
2я2% < /2 < 4я2х.
Равенство слева достигается для гиперповерхностей (% =
= R(R2-SR+ 22), x = j R(R + 2)(R-3)), а справа —для
произведений поверхностей постоянной отрицательной кривизны рода и g2 (х = 4(1 — ^r1) (I — g2), х = 0).
Эти результаты и некоторые качественные соображения по-
будили Хокинга [4, 10] высказать следующее предположение: Гипотеза. При растущем х Для большинства компактных ин-стантонов А < 0 и f ~ л/%.
Фридан (частное сообщение), показал, что в классе метрик с постоянной скалярной кривизной все известные компактные инстантоны, за исключением S2 X -S2, являются локальными минимумами действия. Для S2X-S2 есть в точности одно направление, вдоль которого действие уменьшается.
4. Ґравитационныё инбтантоньї: обзор 103
ЛИТЕРАТУРА
1. Hawking S. W., Gibbons ІЗ. W., Phys. Rev., 13, 2752 (1977).
2. Hawking $. W., Phys. Lett., 60A, 81 (1977). .
3. Hawking S. W., in: General Relativity, edited by S. W. Hawkirig arid W. is-rael, C. U. P., 1979.
4. Hawking S. W., Euclidean Quantum Gravity, lectiire, held at the NATO
Summer School at Cargese 1978, Plenurn Press, ed. S. Deser. (Статья I
данного сборника.)
5. Gibbons G. W., Perry M. J., Pawking S. W., Niicl. Phys., B138, І41 (1978).
