Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
7. Явное монопольное решение для q=l
Для монополей калибровочные поля являются статическими, и для q — 1 принимается анзац
At = ±^-h(r), Al = ^zakb 4а{г), (7.1)
где h и а — пока произвольные функции г. Анзац (7.1) может быть мотивирован асимптотической (при оо) формой равенств (5.11) и (5.12). Тензорные индексы строятся исходя из координат только 3-мерного евклидова пространства ха (а — = 1, 2, 3), так что нет специального направления, т. е. имеет место своего рода «сферическая симметрия».
Исходя из анзаца (7.1), мы вычисляем векторные поля Bk и Et, определенные в равенствах (5.2) и (5.1):
fi? = y60*(-a'--^) + ^[a2 + a'-iL], (7.2)
Et=Y^k[jr-ah] + ~-[ah + h'--^], (7.3)
где для любой функции /(г) мы полагаем f as df(r) jdr. Таким образом, статические уравнения автодуальности Bak = Efk принимают вид
{га)' = h {га — 1), (7.4)
h' + h(a-±) = a2 + a' -f. (7.5)
Решая уравнение (7.4) относительно h и подставляя решение в уравнение (7.5), получаем
(InQr = Q2, Q^H-I). (7.6)
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
85
Уравнение (7.6) легко проинтегрировать, что дает
а=Я1±'Д-(с7-ы]' A = I-C elh (Cr +г.), (7.7)
где С и г0— постоянные интегрирования, причем С мы берем положительной.
Потребуем теперь, чтобы A4 и Ai были конечны (не сингулярны) во всем 3-мерном евклидовом пространстве. Это вынуждает нас взять г о = 0 и знак минус в первом равенстве (7.7). Таким образом, калибровочные потенциалы
Aa4 Al
являются конечными несингулярными решениями статических уравнений автодуальности Bi-Et-
Используя равенства (5.5), (5.6) и (5.1), легко проверить,
что
Bi = Ei^ BiEi = dkdk [{ Aa4 А$\. (7.10)
Следовательно, функционал энергии, связанный с калибровоч-
ными потенциалами (7.8) и (7.9), имеет вид
? = ^5(Л)аА{А[1-СгсШСг]2}. (7.11)
Так как подынтегральное выражение в (7.11) не имеет особенностей, для нахождения энергии можно использовать теорему Гаусса
E = If-. (7.12)
Сравнивая это выражение с (5.19), видим, что мы действительно имеем явную реализацию монопольного решения для <7=1.
В настоящее время почти ничего не известно о явных монопольных решениях для q > 1. Методы алгебраической геометрии, которые привели к конструкции АДХМ в случае инстантонов, по-видимому, здесь неприменимы. В следующем разделе мы описываем попытки использовать преобразования Бэклун-да, которые дают некоторые сведения, но к конкретному решению рассматриваемой проблемы не приводят.
= YTrIl-CrcthCr], I akb Xb Г, Cr I
= T8 -I1-IhcrJ
(7.8)
(7.9)
83 М. К. Прасад
8. Преобразования Бэклунда для автодуальных калибровочных полей
Этот раздел посвящен преобразованиям Бэклунда для автодуальных калибровочных полей, которые, как сказано выше, хотя и дают некоторые сведения, но к конкретным решениям рассматриваемой проблемы не приводят. Преобразованием Бэклунда (ПБ), которое используется в наших целях, называется любое преобразование, которое порождает локально «новые» решения уравнений автодуальности из «старых». Поскольку уравнения автодуальности являются сложными нелинейными связанными уравнениями в частных производных, ПБ может быть весьма полезным, если только известны тривиальные решения.
Этот раздел разбит на три подраздела. В первом подразделе описывается представление Янга автодуальных калибровочных полей, которое является отправной точкой для всех рассуждений, связанных с ПБ. Затем мы вводим анзацы Атьи — Уорда (АУ) в контексте инстантонной проблемы. Исторически анзацы Атьи — Уорда были предложены как способ образования полного инстантонного решения, но из-за проблем глобальной сингулярности от них отказались в пользу более удобных методов алгебраической геометрии, которые в конечном счете привели к конструкции АДХМ. Наконец, мы опишем совсем недавно открытое ПБ в явно калибровочно инвариантном представлении автодуальных калибровочных полей. К сожалению, подобно конструкции АУ, это новое ПБ при глобальном рассмотрении также имеет серьезные проблемы сингулярности — черта, которая, по-видимому, характерна для всех таких преобразований.
Пока мы не достигли лучшего понимания глобальных особенностей, порождаемых ПБ (или способов управлять ими), совсем не ясно, каково их значение в описании инстантонов и монополей.
8.1. Представление Янга автодуальных калибровочных полей
Основная идея Янга — рассмотреть аналитическое продолжение калибровочного потенциала A11 (в матричной форме) в комплексное пространство, где хи х2, х3 и X4 комплексные. Тогда уравнения автодуальности Fiiv = 4tFliv выполняются в области комплексного пространства, содержащей действительное пространство, где JCi, х2, X3 и X4 действительные. Рассмотрим теперь
четыре новые комплексные переменные у, у, z и г, определен-
ные следующим образом:
¦у/2 у^X1 +іх2, л]2у^хх—іх2,
-у/2 z = x3 —ix4, -у/2 z = Jc3 + ix4. (8.1.1)
3. Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
87
Нетрудно проверить, что уравнения автодуальности Fivv = Vliv сводятся к следующим уравнениям:
