Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема 2. Если (Ф, р, р) удовлетворяют уравнениям
(8.2.3) — (8.2.5), то (Фв, ps, ps) также им удовлетворяют и определяются следующим образом:
та______ 1 В____Рг В __Рff_ -В __Pz_ -В_______Pу
^ ф ’ Py ф2 > Pz ф2 і Pff ф2 1 Рг ф2
(8.2.12)
В отличие от (8.2.10), для того чтобы найти ps и рв. нужно решать дифференциальные (а не алгебраические) уравнения. Очень важно заметить, что
Pb=-Pb*, (8.2.13)
т. е. нарушается условие действительности уравнения (8.2.2). Более того, примененный дважды оператор В есть тождествен-
(BB BB BB \
Т. Є. Ф — ф, рг =Рг, Рг =Рг и Т.Д.), И ОН
не изменяет калибровочный потенциал. Следовательно, чтобы использовать оператор В более одного раза, нужно вводить оператор / теоремы 1 между двумя операторами В.
Используя уравнения (8.2.6), (8.2.3) и (8.2.12), можно записать плотность действия от Фв, ps, ps в виде
<?(фв, рв, рв) = ^(Ф, р, р)-4 ПОІпФв. (8.2.14)
В общем случае ??ІпФ^^О, так. что (Фв, ps, рв) He может быть калибровочным преобразованием (Ф, р, р).
Анзац АУ Mt (1 = 2, 3, ...) может быть теперь определен следующей цепочкой операторов:
(Bf) . (В/) . (BI)
Mx-----* M2----»- M3---* ..., (8.2.15)
где Mi — анзац КФТВ (8.2.7) и (BI) означает применение сначала оператора /. а затем оператора В, введенных в теоремах
3. Инстантоны и монополи в теориях калибровочных полей
91
1 и 2 соответственно. Используя уравнения (8.2.11) и (8.2.14), находим плотность действия для анзаца s?n
і
9> (rf/+1) = ? {“ І ? О In ф]} • (8-2Л6)
*=о
где Ф — анзац КФТВ Ф, определенный (8.2.7), a (BI)k обозначает оператор (BI), примененный k раз.
Теперь в силу уравнения (8.2.13) все четные анзацы st-y, вообще говоря, не будут удовлетворять условию действительности (8.2.2), в то время как нечетные анзацы s?v+\ будут ему удовлетворять.
Гораздо более серьезное следствие уравнения (8.2.13) заключается в следующем. Если явно вычислить плотность действия ^(зФі) для />1, то обнаруживается, что имеется очень много сильных особенностей — особенностей, которые не являются калибровочными артефактами (как было в случае с решением т’Офта в разд. 6.3). В настоящий момент совсем не ясно, как справиться с такими особенностями и, следовательно, как связан анзац АУ с конструкцией АДХМ, которая, как известно, дает полное инстантонное решение.
8.3. Явно калибровочно инвариантное преобразование Бэклунда
Конструкция АУ требует явной параметризации матрицы J и потому нарушает явную калибровочную инвариантность. Недавно было найдено новое преобразование Бэклунда непосредственно в терминах калибровочно инвариантной матрицы У, которое мы здесь опишем.
Пусть J и J' — две эрмитовы матрицы второго порядка, которые удовлетворяют следующим уравнениям:
Г lJy-/-lJy ^eia (Г1/)* (8.3.1)
/У"1 =-//“'+ р/, (8.3.2)
где а и P — действительные постоянные. Если мы применим эр-
митово сопряжение к уравнению (8.3.1) и используем (8.3.2), то получим
Г lJz - j'-%--------eia (J- 1J% (8.3.3)
Отсюда следует
+ {r]Jz)-z = {]'-lJy)y + 0'-%)?? (8.3.4)
92 М. К. Прасад
так что / и /' являются решениями уравнения автодуальности (8.1.11).
Если J Ф J' и det/ = +l, то det/' =—1. Чтобы убедиться в этом, положим P н= J'J-11 так что из уравнения (8.3.2) получим P2 = PP+/. Из теоремы Гамильтона — Кэли следует, что P[—P + Р] = /[I + det Р]. Если det P Ф—1, то матрица P
пропорциональна единичной, и подходящим выбором масштаба можно получить /' = J, т. е. тривиальное решение уравнений
(8.3.1) и (8.3.2). Поэтому для /' Ф J нужно потребовать, чтобы det P = —1 и Tr P = р.
Однако для SU (2) -калибровочной теории матрицы /= DD+ является не только эрмитовой, но и положительно определенной, так что det/>0. Поскольку det/' = —1, то невозможно получить SU (2) -калибровочные поля. Эта проблема аналогична уравнению (8.2.13) для конструкции АУ. Как в последней, чтобы получить det/'=l, нужно четное число раз применить к уравнениям (8.3.1) и (8.3.2) преобразование Бэклунда. К сожалению, проблема особенностей, связанная с конструкцией АУ, в новой конструкции, по-видимому, также оказывается неразрешимой.
Мы заканчиваем этот раздел замечанием, что преобразования Беклунда, обсуждавшиеся до сих пор, не являются сильными в том смысле, что из них не следует, что «новые» и «старые» решения уравнений автодуальности удовлетворяются независимо. Так, например, из уравнения (8.3.4) не следует, что 0~lJy)g+ (J~lh)z — 0 и (Ґ~1Ґу)у-{-(Ґ~1Ґг)г = 0. Классическое ПБ в теории солитонов является сильным и весьма полезным для построения солитонных нетривиальных решений из тривиальных (напрцмер, для уравнения Кортевега — де Фриза и т. д.). He известно, существует ли сильное ПБ для уравнений автодуальности Янга — Миллса.
9. Нелокальные законы сохранения для автодуальных калибровочных полей Янга — Миллса
В этом последнем разделе мы строим бесконечное множество нелокальных законов сохранения для автодуальных калибровочных полей, используя явную калибровочную инвариантность формализма разд. 8. Известно, что такие законы сохранения могут быть использованы в контексте солитонов (см. список литературы), и есть надежда, что они прольют свет на скрытые симметрии автодуальных калибровочных полей.
