Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Fyi = O, (8.1.2)
Fn = 0, (8.1.3)
Fyg +F* = 0. (8.1.4)
Уравнения (8.1.2) и (8.1.3) могут быть сразу проинтегрированы, так как они являются чистой калибровкой. В результате имеем
Ay = D-lDy, A2=D-1Dг, (8.1.5)
Ay = D-lDg, A2 = D-iD;, (8.1.6)
где D и D — произвольные комплексные матрицы второго порядка, зависящие от у, у, z и г, с определителем, равным единице (для калибровочной группы St/(2)); Dy == dyD и т. д.
Для действительных калибровочных полей Ali = — (знак == используется для уравнений, верных только для действительных переменных JCi, JC2, JC3 и х4) потребуем выполнения условия
D = (D+)~\ (8.1.7)
Калибровочные преобразования (3.9) принимают вид
?>-> DU, D -> DU, U+U = I, (8.1.8)
где U — комплексная матрица второго порядка с определителем, равным единице, зависящая от у, у, z и z. При преобразовании (8.1.8) уравнение (8.1.7) остается неизменным.
Определим теперь эрмитову матрицу J следующим образом:
/ = DD-1 = DD+. (8.1.9)
Матрица J обладает очень важным свойством: она инвариантна относительно калибровочного преобразования (8.1.8). Все не обращающиеся в нуль компоненты напряженности выражаются через J в виде
Fuv = -D~l (J-lJu) s D (u,v = y,z), (8.1.10)
а остающееся уравнение автодуальности (8.1.4) принимает вид
(J-lJy)-y + (J-'Jzh = 0. (8.1.11)
Плотность действия в терминах матрицы J имеет вид
S’ </) — і Tr FfvFll, = - 2 Tr (FliFu- + F„-F-„) _
= - 2 Tr {4-І,)-, (l~4,yz - tl-4,)- (J-Iz)i), (8.1.12)
88 М, К¦ Прасад
Для статических калибровочных полей уравнение (3,6) принимает вид
СТАТИЧЕСКИЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ: ^M=W„(*)
(н = 1, 2, 3, 4), (8.1.13)
так что для статических полей Jz = Jz- Так как для статических полей Dzr= Dz, калибровочный потенциал A4 в матричной форме имеет_вид A4=g (а /2і) A4- (і/л/2 ) [Az-Ai)= (//л/~2) X X\D~XDz — D~lD^). Таким образом,уравнение плотности энергии
(7.10) для статических автодуальных полей принимает следующую форму:
JT (/) = - дкдк Tr (Л4Л4) = - (дуд- + дгдг) Tr (/ - >/г). (8.1.14)
Функционалы действия и энергии задаются в виде
S = Wx) ?(J), E =-L 5 ((fix) S (J). (8.1.15)
В заключение этого подраздела заметим, что в выборе / имеется произвол с точностью до преобразований вида
J (у, z) JV (у, z), V=V+, (8.1.16)
где V — произвольная функция у и z. Относительно преобразования (8.1.16) калибровочные потенциалы Aix, а следовательно, и напряженности Zrttv инвариантны.
8.2. Анзац Атьи — Уорда
Конструкция Атьи — Уорда (АУ) начинается с явной параметризации матрицы /:
(i I 'I
H1^ (8-2Л»
V ф ф /
Для действительных калибровочных полей Aix = — Av мы требуем, чтобы
Ф ^действительная, р = р* (р* s комплексное сопряжение р).
(8.2.2)
Уравнения автодуальности (8.1.11) принимают вид
j ? InФ + (р^+ргр4 =0> (8.2.3)
(? +(I^)i = O, (8.2.4)
(Й„+(М = °’ • <8-2-5>
? = = 2 (дуд в + Mn)-
3, Инстантоны и монополії в теориях калибровочных полей
89
Используя уравнения (8.2.3)-(8.2.5), плотность действия (8.1.12) можно привести к следующему виду:
В терминах Ф, р и р анзац КФТВ и решение т’Офта из разд. 6 имеют простой вид
анзац КФТВ: pj, = ®2, рг = — Фд, рд = Фг, Рг= — Фу,
A X2
решение т’Офта: оФ = 0, Ф=1 + 2_) (х — xj)* ' (8*2-7)
Атья и Уорд называют анзац КФТВ (8.2.7) анзацем s€\ и включают его в иерархию анзацев Sli (1 — 2, 3, ...), которая позволяет получить явно Ф, р и р, которые в свою очередь автоматически удовлетворяют уравнениям автодуальности (8.2.3) —
(8.2.5). Для того чтобы построить зФі, нам понадобятся некоторые предварительные результаты.
Положительно определенная эрмитова матрица J = DD+ может быть разложена в произведение верхней и нижней (или наоборот) треугольных матриц следующим образом:
Ф = действительная, р = р*, Ф7 ^действительная, р7 = р7*.
Из (8.2.8) очевидно, что можно выбрать калибровку так, что D = R или D = Rr; легко проверить, что в обеих калибровках уравнения автодуальности имеют вид (8.2.3) — (8.2.5) (в случае D = R1 Ф, р, р переходят в Ф', рг, р!). Из (8.2.8) мы видим, что R-1R1 является унитарной матрицей, так что всегда можно калибровочным преобразованием перейти от ^-калибровки к Rr-калибровке. Таким образом, мы приходим к следующей теореме:
9>(Ф, р, р) = — ~2 ? ? In Ф + 2 [дудд ( Фг%2-уР* ) -
(8.2.6)
/= і
9 (Ф, р, р) = — j ? ? In Ф.
/ = RR+ = RlRI+,
(8.2.8)
(8.2.9)
90 М. К. Прасад
Теорема 1. Если (Ф, р, р) удовлетворяют уравнениям
(8.2.3) — (8.2.5), то (Ф', р;, р7) также им удовлетворяют и определяются следующим образом:
ф'=Ф^г P7= = (8-2Л0)
Более того, калибровочные потенциалы, построенные из (Ф7, P71 P7). суть калибровочные преобразования потенциалов, построенных из (Ф, р, р), так что
9>(Ф', р1, р/) = ^(Ф, р, р), (8.2.11)
поскольку плотность действия инвариантна относительно калибровочного преобразования. Заметим, что / является дискретным преобразованием, так как двукратное его применение приводит к тождеству (т. е. Ф77 = Ф, р11 = р, р77 = р).
Теперь мы сформулируем вторую теорему, которую очень легко доказать.
