Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
116 С. Феррара
спиральностей лежит в пределах от Я = 0 до К = N/4 (или (N + 1) /4 для нечетных N).
В табл. 3 и 4 приведены безмассовые мультиплеты с синг-летными относительно SU(N) максимальными спиральностями
Таблица 3
Безмассовые представления с максимальной спиральностью X = I
nN. к 1 1 2 0
1 1 1
2 1 2 2=101
3 1 301 303
4 1 4 3<g> 101 ®3
Таблица 4
Безмассовые представления с максимальной спиральностью X. = 2, SO (8)-классификация
nN. Я 2 3 2 1 1 2 0
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 з <8> 101 <S> 3 4 2 = 101
5 1 5 10 1001 505
6 1 6 15 01 2006 15015
7 1 701 2107 35 021 35 035
8 1 8 28 56 35 035
Ямакс = 1, 2. Отметим, что подгруппа SO(N) группы SU(N) является максимальной внутренней симметрией безмассовых муль-типлетов, реализующейся вектороподобно. При расширении SO(N) до SU(N) безмассовые мультиплеты теряют определен-
5. Перспективы теорий супергравитации 117
ную четность, так как данная спиральность и противоположная ей спиральность принадлежат соответственно сопряженным представлениям SU(N). Тем не менее может случиться, что некоторые состояния данного мультиплета принадлежат самосопряженному представлению SU(N)-, для них может быть определено понятие четности. Ясно, что любой неприводимый CPT-самосопряженный мультиплет не может быть самосопряженным относительно киральной группы SU(N), вращающей состояния вида Q*1 ... QtfeQ. Однако, добавив несколько безмассовых мультиплетов, можно получить мультиплет, состояния которого принадлежат самосопряженным представлениям SU(N). Такая ситуация возникает, например, при разложении состояний массивного представления по состояниям с определенной спиральностью [26]. Массивное представление разлагается в сумму неприводимых безмассовых представлений. Состояния с данной спиральностью классифицируются по подгруппе SU(N) группы USp (2N) в соответствии с разложением 2N —>N Ц- N векторного представления USp(2N) относительно SU(N). В табл. 5 приведено такое разложение для массивного мультиплета расширенной N = 4-суперсимметрии С максимальным СПИНОМ /маКс = = 2 (фундаментальное представление).
Из предыдущего анализа видно, что область изменения епи-ральностей в безмассовом представлении меньше, чем в массивном. Причина этого лежит в сокращении размерности клиффор-довой алгебры в «системе покоя», соответствующей в первом случае группе SO (2N), а во втором SO(AN). Безмассовое фундаментальное представление расширенной W-суперсимметрии есть спинорное представление SO (2N), соответствующее разложению 2N-*¦ N + N SO (2N) относительно SU(N). Очевидно, что предыдущее обсуждение может быть обобщено на случай суперсимметрии в пространстве-времени произвольного числа измерений. Например, рассматривая безмассовые представления N = 1-суперсимметрии в десяти измерениях [31], мы находим, что клиффордова алгебра соответствует группе SO (8), как и для массивного случая N = 2 в четырех измерениях. Фундаментальное безмассовое представление соответствует паре неприводимых представлений SO (8), а именно векторному и спинор-ному представлениям, описывающим векторное поле и спинор Вейля — Майораны в десяти измерениях. Клиффордова алгебра для безмассовых представлений суперсимметрии W=I в 11-мерном пространстве-времени [32] эквивалентна клиффордовой алгебре для безмассовых представлений N = 8-суперсимметрии или для массивных представлений N = 4-суперсимметрии в четырех измерениях.
В заключение рассмотрим еще раз некоторые представления расширенной N-суперсимметрии с центральным зарядом [29,
118 С. Феррара
Таблица 5
Разложение массивного N = 4, /макс = 2 представления на безмассовые представления
Спираль- ность Число состояний Неприводимое безмассовые представлення
+2 1(1) 1
+т 8(8) 4 4X1
+1 28 (27 + 1) 6 4X4 6X1
+ т 56 (48 + 8) 4 4X6 6X4 4X1
0 70 (42 + 27+ 1) 1 4X4 6X6 4X4 1
і 2 56 (48 + 8) 4X1 6X4 4X6 4
-1 28 (27 + 1) 6X1 4X4 6
3 2 8(8) 4X1 4
-2 1(1) 1
В скобках указаны представления USp (8).
30]. Мы видели, что эти представления классифицируются по группе USp(N) и имеют область изменения спина в пределах от 0 до N/4 (N четное). Их размерность равна 2"+1, и, пока речь идет о содержании спиральностей, они совпадают с CPT-самосопряженными безмассовыми представлениями расширенной N-суперсимметрии. Эти представления можно рассматривать как некоторое специальное вложение USp(N) в SU(N). ЛЛ-мерное векторное представление SU(N) остается неприводимым при ограничении до USp(N). Применяя вышеизложенный анализ к W = 4-суперсимметричным теориям Янга — Миллса, мы приходим к выводу, что любой не нарушающий суперсимметрию механизм Хиггса с необходимостью приводит к массивным мультиплетам с центральными зарядами, спиновые состояния которых классифицируются по USp(A). Это явление действительно происходит в спонтанно нарушенных расширенных суперсимметричных теориях Янга — Миллса.
5. Перспективы теорий супергравитации 1J9
4. Расширенная супергравитация и физика частиц
Расширенные супергравитации [33] представляют собой калибровочные теории супералгебр Пуанкаре, в которых имеется N спинорных майорановых зарядов Qa(г== 1, АО, удовлетворяющих фундаментальным антикоммутационным соотношениям (2). Для локализации N преобразований суперсимметрии необходимо ввести N полей Рариты — Швингера со спином 3/2, несущих индекс внутренней симметрии і. Мультиплеты расширенной W-супергравитации (на массовой оболочке) приведены в табл. 4. Поскольку мультиплеты со спиральностями X ^ 2 существуют только при условии W =? 8, то имеется весьма ограниченное число теорий чистой супергравитации. Фактически, если единственной константой связи является гравитационная константа, имеется только семь возможных теорий с различным содержанием частиц. Впрочем, недавно было показано [34], что разные полевые представления могут привести к неэквивалентным квантовым теориям поля, совпадающим на классическом уровне.
