Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Простейшей расширенной супергравитацией является N = = 2-теория [35]. Она весьма изящно объединяет теории Максвелла и Эйнштейна. Эйнштейновская мечта об объединении фотонов и гравитонов почти достигается в N = 2-супергравитации путем добавления к обычной теории Максвелла — Эйнштейна двух гравитино. Гравитино не имеют электрического заряда; тем не менее они взаимодействуют с максвелловским полем за счет неминимальной связи, диктуемой локальной суперсимметрией:
}«ей (>v + } Y5^v) (28)
На свободном уровне лагранжиан теории сводится к сумме лагранжианов (4) и (7). Дублет гравитино W = 2-теории можно снабдить электрическим зарядом g [36] при условии, что гравитино приобретают «массу» величины g/к и возникает космологический член величины (g/и)2. Расширенные супергравитации имеют очень большой набор симметрий. Локальные симметрии кроме общекоординатных, лоренцевых и суперпреобразований включают также калибровочные симметрии, связанные с векторными палями мультиплета супергравитации. При наличии только гравитационной константы эти последние симметрии связаны [37] с локализацией центральных зарядов, появляющихся в правой части фундаментального антикоммутатора (2). Глобальные симметрии расширенных супергравитаций включают глобальную SO (N) -инвариантность, которая может быть расширена до U(N) [38] с помощью комбинированных киральных и дуальных преобразований, обобщающих преобразования дуальности теории Максвелла — Эйнштейна. N левосторонних гравитино образуют вектор SU(N), в то время вдк
120 С. Феррара
N (N—1)/2 напряженностей максвелловских полей FiJv = -Fjt4
и дуальные им тензоры Fjjtv = е^рoFpa преобразуются как
антисимметричные тензоры SU(N) второго ранга. Эта комбинированная кирально-дуальная инвариантность оказалась наряду с остальными локальными симметриями существенной для конечности одно- и двухпетлевых квантовых поправок теорий расширенной супергравитации [12]. Важно отметить, что комбинированная кирально-дуальная инвариантность индуцирует новые контактные члены в напряженностях полей гравитино, уже не сводящихся просто к кручению, как это было в случае N = 1. Этот факт показывает, что локальная суперсимметрия имеет гораздо более богатую геометрическую структуру, чем теория гравитации Эйнштейна — Картана.
Структура глобальных симметрий расширенной супергравитации наиболее интересна для N ^ 4. В этих случаях мультиплеты супергравитации включают все возможные спираль-ности от 0 до 2 и содержат скалярные поля (см. табл. 4). При построении N = 4-супергравитации было показано [39], что за добавочную глобальную SU (1,1) -инвариантность уравнений движения ответственны два вещественных скалярных поля. Эта симметрия нетривиальным образом комбинирует киральные преобразования на спинорах, дуальные преобразования на напряженностях .векторных полей и проективные преобразования на скалярах. Эти некомпактные глобальные преобразования расширяют глобальную симметрию N = 4-супергравитации до SU(4)X.SU(\, \). Некоторое время назад Креммер и Жулиа [13,40] обобщили эти добавочные симметрии N 4-супергравитаций, показав, что все эти теории фактически обладают локальной симметрией H= U(N) (SU(8) для N = 8) и глобальной некомпактной симметрией G. Более того, скалярные поля мультиплета супергравитации, образующие антисимметричный тензор SU(N) четвертого ранга, параметризуют пространство смежных классов G/Я. Группа Я связана с G в том смысле, что Я изоморфна ее максимальной компактной подгруппе Я л* Я. Именно это является причиной отсутствия духовых состояний, несмотря на некомпактность полной группы инвариантности уравнений движения. В N = 4-супергравитации G/Я = = SU(l,l)/U(I) является двумерным многообразием, что соответствует двум скалярным модам теории.
Обратимся теперь сразу к максимально расширенной N = = 8-теории. В этом случае G = E7 и H = SU(8) [13,40]. 70 скалярных полей параметризуют однородное пространство G/H размерности 133 — 63 = 70. Группа SU(8), по которой классифицируются состояния, не совпадает ни с Я, ни с Я, а является, скорее, их прямой суммой Я® Я. Локальная SU(8)-группа расширенной N = 8-супергравитации имеет 8 качестве
5. Перспективы теорий супергравитации 121
связности Q^ab — вспомогательные !^распространяющиеся поля, линеаризованная часть которых билинейна по 70-плету скалярных полей фундаментального мультиплета N = 8-теории. Креммер и Жулиа [40] предположили, что эти SU (8)-калибровочные векторные потенциалы могли бы стать динамическими, т. е. в их пропагаторах мог бы возникнуть полюс при нулевой массе по аналогии с явлением, которое действительно имеет место в двумерной СРп~1 нелинейной модели в1 /п разложении [41]. Такое предположение означает по существу, что элементарные поля лагранжиана N = 8-супергравитации образуют связанные состояния, мультиплет которых содержит присоединенное представление SU(8). Это наблюдение может оказаться полезным для установления связи между супергравитацией и современной феноменологией частиц. Действительно, предыдущие попытки идентифицировать элементарные частицы физики «низких энергий» с партнерами гравитона по безмассовому мультиплету супергравитации были безуспешны, по существу, по той причине, что расширенная W-супергравитация может включать, самое большее, 50(8)-теорию Янга—Миллса [42]. Векторные частицы фундаментального мультиплета принадлежат в точности присоединенному представлению SO (8). Хотя ранг этой группы равен четырем, она не содержит минимальную калибровочную группу низкоэнергетической физики S?/(3)X X<S?/(2)X ^O)- Даже если мы попытаемся идентифицировать ТОЛЬКО точную (вектороподобную) симметрию S?/(3) X^(I)1 все равно отсутствуют слишком многие наблюдаемые состояния кварков и лептонов. Ho если отбросить эту картину и интерпретировать элементарные поля N = 8-супергравитации как «прео-ны» составных состояний, выглядящих элементарными при современных энергиях (кварки, лептоны, векторные бозоны), то локальная киральная SU(8) -симметрия может обеспечить включение всех наблюдаемых состояний. Недавно в очень интересной работе Эллис, Гайяр, Майани и Зумино [43] провели теоретико-групповой анализ содержания частиц в составном без-массовом SU(8) -мультиплете, в котором состояния со спиральностями Я = ±1 принадлежат присоединенному представлению SU(8), и пришли к выводу, что этот мультиплет содержит достаточное число спинов 1/2 и 0, чтобы включать все наблюдаемые кварки и лептоны, а также хиггсовские частицы, необходимые для последующих нарушений симметрии от планковской массы до области гигаэлектрон-вольт:
