Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
108 С. Феррара
в простейшей теории супергравитации уже сам факт квантования поля Рариты — Швингера предполагает, что метрический тензор также должен быть квантован.
Имеется несколько изящных формулировок основной теории супергравитации (N = 1) [5, 6]. В формализме первого порядка N = 1 супергравитацию можно рассматривать как теорию Эйнштейна — Картана для безмассовой частицы спина 3/2 с неминимальной заменой дц->дц-f-j <»ца6стаЬ в лагранжиане Pa-риты — Швингера [6]. Эта замена неминимальна в том смысле, что дц + — (Onab ааЬ не является ковариантной производной, действующей на поле со спином 3/2, а отличается от нее на члены, связанные с кручением, которые необходимы для сохранения калибровочной инвариантности поля Рариты — Швингера. Супергравитация была также построена как калибровочная теория супергрупп Пуанкаре [15] или де Ситтера [16] в пространстве-времени без кручения. Более простой вывод супергравитации требует соответственно более изощренных методов [17, 18]. Один из них основан на понятии суперпространства [17, 19— 2 IJj которое является фактор-пространством супергруппы Пуанкаре по группе Лоренца. В суперпространстве мультиплеты полей описываются одним объектом — суперполем. Несмотря на эти значительные технические усовершенствования, мы хотели бы привести здесь такой вывод супер гравитации, который не требует знания дифференциальной геометрии и теории групп и основан на некоторых очень простых физических рассуждениях. Из теории представлений глобальной суперсимметрии известно, что безмассовая (майоранова) частица со спиральностью К = == ±3/2 может образовывать супермультиплет с бозоном спи-ральности ±2 или ±1. В теории свободных полей оба выбора совершенно равноценны. Первый выбор приводит к мультиплету супергравитации (±2, ±3/2) со свободным лагранжианом
Здесь і?0зйншт(/іцу) — линеаризованный эйнштейновский лагранжиан с ?nv = Tlnv + xftnv Лагранжиан S*0 раздельно инвариантен относительно двух абелевых калибровочных преобразований
(4)
(5)
и глобального преобразования суперсимметрии
д/іцу = SYn^v + eYv^n*
6\ = dp/ill(r(xi)<Te.
(6)
5. Перспективы теорий суперіравМации IOd
Альтернативный выбор приводит к мультиплету (±3/2, ±1) со свободным лагранжианом
2” = - -у FllvF1" - -J- e“v'4%vvdp4v Р)
Лагранжиан Sx раздельно инвариантен относительно двух абелевых калибровочных преобразований
бЛц = ^14A, б-фц = дц<х (Fliv = д^А v — (8)
и глобального преобразования суперсимметрии
4 = ?- 6lJV = VYn^e- (9)
Разница между Sa и SB1, соответствующими двум возможным способам включения гравитино в супермультиплет, возникает при попытке обобщить теории, описываемые (4) и (7), на случай полной нелинейной теории. Если є = є(*), т. е. преобразование суперсимметрии локально, то в лагранжиан необходимо ввести новый член K^liaJlia, имеющий вид произведения поля на ток (и — гравитационная константа связи), причем S11Jm(X) = 0. Это не что иное, как нетерова связь. Ho известно, что при суперпреобразовании спин-векторный ток суперсимметрии переходит в тензор энергии-импульса системы T^. Следовательно, связь KtyilJ11 с необходимостью сопровождается выражением HhixvTliv, поэтому анзац (4) является единственно возможным. Окончательная теория, построенная процедурой последовательных приближений по степеням к, приводит к следующему лаг-гранжиану супергравитации:
^sa=------2V— § R (§»*) — 4 —
— Wx2 ("iMV1I3P + 2^vY^p) — 4 (-^nYt)2]. (10)
где g^v = <??<?va и вца— тетрада. Лагранжиан SSsq инвариантен относительно следующих (неабелевых) калибровочных преобразований с є = є (я):
Ъет = XeYa^11,
+ 7 (З'Фцїа'Фг. + ^aY1A), ^
где Dil — обычная ковариантная производная со связностью Кристоффеля. Таким образом, на свободном уровне (и == 0) есть два независимых абелевых преобразования (5) и глобальное (неабелево) преобразование суперсимметрии (6). На взаимодействующем уровне (10) они становятся единым неабелевым
HO С. Феррара
калибровочным преобразованием (11). Заметим, что закон
2 N. -V
O-Vfi11 = — DvZ (Dil = D11+ члены кручения) имеет такую же форму, что и закон калибровочного преобразования янг-миллсовского
потенциала 6Л? = DilAa = OilAa + /aftcAbAcv.. Единственное отличие состоит в том, что в супергравитации спиновая связность Ojf является нелинейной функцией полей. Наконец, существует весьма изящный вывод [22] лагранжиана супергравитации (10), который не требует даже знания преобразований полей (11) и опирается только на тот факт, что поле гравитино описывает два физических безмассовых состояния со спиральностями ±3/2. Этот вывод прямолинеен и требует лишь знания борновской амплитуды гравитационного рассеяния двух частиц со спином 3/2. Кроме того, он подчеркивает интерпретацию четырехфермионной связи, присутствующей в (10), как контактного члена той же природы, что и аналогичные члены в обычных теориях Янга — Миллса и в скалярной электродинамике. Рассмотрим одногравитонную амплитуду рассеяния двух частиц со спином 3/2. Волновая функция (р) любой внешней линии с импульсом Pix удовлетворяет на массовой оболочке (/Afn(P) = 0) следующим уравнениям:
