Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Закон преобразования векторного поля vm показывает, что это
130 Й. Весе
преобразование может быть использовано как суперсимметрич-ное обобщение калибровочного преобразования.
Суперполе Wa = DDDaV инвариантно относительно калибровочных преобразований:
DDDa (Л — Л+) — DDDaA = D {D, Da} А ~ DdA = 0.
По определению Wa удовлетворяет соотношениям DdWa = 0, DaWa-DliWii = 0.
Это уменьшает число независимых полей в Wa до Vmn = dmvn — dnvm, Ли D.
Из того, что DjiWa = 0, следует, что выражение WaWа + W^W^ доставляет следующую лагранжеву плотность:
L = - Yhadh + Уz^
Эта лагранжева плотность инвариантна относительно калибровочных преобразований
+ дта, D-+D,
а также относительно преобразований суперсимметрии Svmn = (дтап — дпат) к + if (дтап — дпот) к,
bh = IomnVmn+ID,
6D = — %amdmK + iamdmX.
Неабелев случай. Пусть T1ii, I= 1, ..., L, — генераторы компактной алгебры Ли; Vu At — суперполя.
Определим матричное поле
V = T1ilVi, Vt = Vi,
A = T1IjAi, DAi = O, и введем калибровочное преобразование
ev e-iA+eVeiA,
К-*К + і(Л-Л+)+ ....
Калибровочно ковариантная величина может быть определена, как и выше. Положим
Wa = DDe~vDaev.
Калибровочно инвариантная величина
Tr [WaWa+ WiiWtl)
6. Суперсимметрия —супергравитация 131
дает лагранжеву плотность
L = Tr {— I V2mn - L lom®m% +1D2},
где
Omn — — a„l>m + І [Vm, l>„],
=z dmhi\vm, А].
Эта лагранжева плотность калибровочно инвариантна и супер-симметрична. Изложенный способ ее построения не очень систематичен— я сделал это намеренно, чтобы было ясно, как был угадан лагранжиан. Надеюсь, что теперь станет легче воспринять формализм следующей лекции, который позволит дать более последовательное изложение.
Лекция 2. Дифференциальные формы, внешние производные и структурные уравнения
Дифференциальная геометрия — единый формализм, применимый как для общей теории относительности, так и для теории Янга — Миллса [4]. Поэтому следует ожидать, что он окажется полезным и для суперсимметричных калибровочных теорий. Предварительно нужно обобщить аппарат дифференциальной геометрии на пространства Грассмана (суперпространства). Начнем с нескольких определений.
Дифференциальные формы
Элементы пространства обозначаются символами
гМ = Um, е“, б*).
Координаты удовлетворяют коммутационным соотношениям [xm, xn\ = [xm, Ol = Um, H = O,
(0“, BvJ = Ieli, 6^) = (611, б*} = 0,
или короче ZMZN=(-l)m{M)nWZNZM, ГЯЄ m(M) = O для
векторного индекса M= т и т(М)= 1 для спинорных индек-
сов M = {і, (і. Для дифференциалов dzM мы вводим правила коммутирования
dzM dzN = -(- Ifwnw dzN dzM,
или подробнее
dxmdxn = - dxn dxm, d^ dQv = dtf dt,
dxmd&-----dtdxm, dpd& = d&dp,
dxm d& = - d& dxm, Cfeli d& = dB* UQil.
132 Я. Becc
Для любого целого р введем линейное пространство, порожденное базисными элементами
dzMl ... dzMp,
причем произведения обладают описанными коммутационными свойствами. Определим теперь р-форму, как линейную комбинацию этих элементов с коэффициентами, зависящими от z, которые имеют достаточное количество производных. Например, функция /(z) называется 0-формой, dzMfM(z) — 1 -формой, dzMdzNfNM — 2-формой и т. д. Формы можно умножать: произведение р-формы и <7-формы есть (р + q) -форма. При этом нужно учитывать, что zMdzN = (—1 )птщм) dzN-zM.
Внешние производные
Другой путь получения (р + 1) -формы из р-формы — внешнее дифференцирование. Пусть а— некоторая р-форма:
a = dzM' ... dzMpfмр...M1(Z).
Тогда ее дифференциал
Лг = <йЛ ...dZ^dZ^U^Z)
есть (р-|-1)-форма. Внешнее дифференцирование обладает свойством dd = 0 (лемма Пуанкаре). Верна также и обратная лемма Пуанкаре с некоторыми топологическими ограничениями: из da = 0 следует, что to = da.
Тетрада
Произвольный базис в пространстве 1-форм на суперпространстве описывается матрицей тетрады
dzMEMA(x, 0, Щ=ЕА.
Обратная матрица вводится соотношениями
EamEmb = ^, EmbEb" = 6М«.
Структурная группа
Пусть а1, /^=«1, ..., N, — набор р-форм, преобразующихся под действием группы Ли:
</* = о*Хх*,
или в матричных обозначениях а' = аХ, где Xx t = Xx *(х, 0, 0)— элемент группы Ли,
6. Суперсимметрия—супергравитация 188
Первое структурное уравнение
Дифференцируя р-форму а, мы получаем (р+1) -форму dar = сг*ф/ + Qr1 da = сгф 4-Q1
где ф<г—1-форма <ptr = EAyAtrt принимающая значения в алгебре Ли. Потребуем следующего закона преобразования для фі
q>'= Х~'срХ +X-1 dX,
^ir = X-lIiVtaX/+ X-VdX/.
Вследствие этого закона (р+1)-форма Q преобразуется следующим образом:
Q' = QX, Qfr = QsX/.
Доказательство:
Q' = do' - o'q>' = d (аХ) - аХ {Х~'<$Х + Х~1 dX) =
= odX + doX- оуХ - а dX = (<тФ + Q) X - eq>X = QX.
В общей теории относительности ф называется формой связности, Q — кручением; в теории Янга — Миллса ф — янг-милл-совский потенциал, а Q — некоторая ковариантная производная.
Второе структурное уравнение
Продифференцировав 1-форму ф, получим
^ф = фф + ^, ¦ dy/=<ptlq/+ F/.
