Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хокинг С. -> "Геометрические идеи в физике" -> 51

Геометрические идеи в физике - Хокинг С.

Хокинг С., Прасад М., Гиббонс Г., Феррара С. Геометрические идеи в физике — М.: Мир, 1983. — 240 c.
Скачать (прямая ссылка): geometricheskieidei1983.djvu
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 90 >> Следующая


Мы ввели 2-форму F со значениями в алгебре Ли; оказывается, что F преобразуется как тензор:

Ff = X-1FX, FfZ = X-VFjX/.

Доказательство:.

F' = dy' - ф'ф' =

= d (Х~1чХ + X~l dX) - {X-'qX + X-1 dX) (X~lyX + Х~*dX) —

== Х->ф dX.+ X-1 d<pX - dX~lcpX + dX~l dX - X~lwX -

- X-1 dXX-^X - X~l<p dX - X~1 dXX-1 dX.

Из X~ldX = —dX~lX находим

Ff = X-1 dq>X - X~l<wX = X-1FX.

В общей теории относительности F — тензор кривизны, в теории Янга — Миллса F — поле Янга — Миллса. ¦ ?
134 И. Весе

Тождества Бьянки

Может показаться, что, продолжая дифференцировать Q и F, мы получим новые тензорные величины. Ho вследствие леммы Пуанкаре dd = О мы не найдем новых величин, а только получим соотношения между уже известными. Из dda — 0 следует

dQ + о dq> — day = О,

или, используя второе структурное уравнение.

dQ, = Qcp — oF;

аналогично из ddq> = 0 следует

dF = Fcp- ф F.

Случай Янга — Миллса

Применим сначала наш формализм к хорошо известному случаю Янга — Миллса

z“~(xm), ЕМ* = 6М*

Пространство — плоское пространство Минковского. Структурная группа — группа Ли, действующая на множестве р-форм, (допускается р = 0), которые преобразуются по некоторому представлению группы Ли в каждой точке х

X = Л(*)=?а'0k)Tu

і

o' = oX.

Матрицы Ti — генераторы группы. To, что форма связности принимает значения в алгебре Ли, означает, что она может быть записана в виде

Ф = dxn<pn, ф„ = ^ V1nTi.

Поля Vh(x) — это хорошо известные потенциалы Янга — Миллса. Закон преобразования

Ф'= JTtyT +JT"1 <ЫГ

сводится в инфинитезимальном варианте к хорошо известному закону преобразования для янг-миллсовских потенциалов

фа = і [фа, Л] + idаА .

Первое структурное уравнение Q = do — сгф определяет некоторое тензорное выражение через производные и потенциалы
6. Суперсимметрия — супергравитация 135

Янга — Миллса. Это хорошо известная ковариантная производная

Qt = dX“ U? ff< “ GsTlsVa1) = dxa(®aoY.

Второе структурное уравнение

dq> = фф + F

определяет тензорное поле F через янг-миллсовский потенциал Ф и его производные. Это хорошо известное поле Янга — Миллса

F = ~dxa dxbFab = dxadxb (^2- Фб + ФаФб) ,

^ab == Qxa Фб фа 4“ [фа> Фб]-

Первое тождество aF — —dQ + ?їф означает, что между производной от ковариантной производной и полем Янга — Миллса есть связь. Оставляя проверку деталей читателю, напишем окончательный результат

(®т®п - ФпФт) a = - oFmn.

Второе тождество dF — Fq> — фF означает, что справедливо циклическое тождество для ковариантных производных поля Янга — Миллса

пт + ®nF ml + ®mFin = 0.

Общая теория относительности

В этом случае предполагается, что тетрада ЕМА является независимой полевой переменной ета(х). Под действием общих преобразований координат (эйнштейновских преобразований)

Xfm = Xfm (х) она преобразуется по закону

/ а— дхп а с т — дх/т п ’

Поэтому форма

ea = dxmem°

есть скаляр по отношению к преобразованиям Эйнштейна;

е,а(х') = еа (х).

Заметим, что форма, получаемая внешним дифференцированием из скаляра, есть снова скаляр.
136 Й. Весе

Структурная группа — это локальные преобразования Лоренца, и тетрада преобразуется по закону

e'mb(x) = ema(x)Lab(x).

Индексы (т), на которые действуют преобразования Эйнштейна, называются мировыми индексами, индексы (а), меняющиеся под действием группы Лоренца в касательном пространстве, называются лоренцевыми индексами. Лоренцевы индексы можно поднимать и опускать с помощью t]ab. Посредством тетрады и обратной к ней мировые индексы можно преобразовывать в лоренцевы и наоборот. Этим способом любая тензорная плотность Эйнштейна может быть преобразована в эйнштейновскую скалярную плотность, являющуюся лоренцевым тензором. Его компоненты берутся в системе координат, которая описывается тетрадой.

В качестве формы о возьмем саму тетраду и используем первое структурное уравнение для определения кручения Qa:

dea = eb q>6a + Qfl, dxm dxn dxm dxn (embq>nba + I .

Кручение Qa = dxmdxnQnma — это 2-форма, которая преобразуется как лоренцев вектор, будучи скаляром относительно преобразований Эйнштейна. В теории без кручения (Qnma = 0) первое структурное уравнение можно использовать, чтобы выразить СВЯЗНОСТЬ фпьа через тетраду. Действительно, поскольку форма связности принимает значения в алгебре Ли, выражение

Щтп = ЄтаЄпЬ<$ІЬа аНТИСИММЄТрИЧНО ПО П И т\ фImn — —фInm- По-

этому мы можем разрешить уравнение

а ( д д \

&l ^ Qxti &та tm ^naJsrzzfPmnl Фnmt

и получить

фпт, Iszx-ieiadnema ^n ^mPla + ет&1епа

&т дп&1а + ^та дтвпа}.

Второе структурное уравнение определяет тензор кривизны в терминах связности:

dcp = фф + F, F = ^ dxm dxnRnm, dxm dxn Фт/ - фтасфп/) == j dxm dxnRmnab,

откуда

Rmna == J^xn ^ma dxm ^na Фта Фпс “Ь Фпа фтс •
6. Суперсимметрия — супергравитация 137

Поскольку Rmn — Коэффициенты 2-формы, МЫ получаем Rrnnab = = —Rnmab- Как и выше, Rmnab принимают значения в алгебре Ли по индексам а, Ь. Это означает, что

Rmnkl &l Rmnbat Rmnkl== Rmnlk-
Предыдущая << 1 .. 45 46 47 48 49 50 < 51 > 52 53 54 55 56 57 .. 90 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed