Геометрические идеи в физике - Хокинг С.
Скачать (прямая ссылка):
Мы ввели 2-форму F со значениями в алгебре Ли; оказывается, что F преобразуется как тензор:
Ff = X-1FX, FfZ = X-VFjX/.
Доказательство:.
F' = dy' - ф'ф' =
= d (Х~1чХ + X~l dX) - {X-'qX + X-1 dX) (X~lyX + Х~*dX) —
== Х->ф dX.+ X-1 d<pX - dX~lcpX + dX~l dX - X~lwX -
- X-1 dXX-^X - X~l<p dX - X~1 dXX-1 dX.
Из X~ldX = —dX~lX находим
Ff = X-1 dq>X - X~l<wX = X-1FX.
В общей теории относительности F — тензор кривизны, в теории Янга — Миллса F — поле Янга — Миллса. ¦ ?
134 И. Весе
Тождества Бьянки
Может показаться, что, продолжая дифференцировать Q и F, мы получим новые тензорные величины. Ho вследствие леммы Пуанкаре dd = О мы не найдем новых величин, а только получим соотношения между уже известными. Из dda — 0 следует
dQ + о dq> — day = О,
или, используя второе структурное уравнение.
dQ, = Qcp — oF;
аналогично из ddq> = 0 следует
dF = Fcp- ф F.
Случай Янга — Миллса
Применим сначала наш формализм к хорошо известному случаю Янга — Миллса
z“~(xm), ЕМ* = 6М*
Пространство — плоское пространство Минковского. Структурная группа — группа Ли, действующая на множестве р-форм, (допускается р = 0), которые преобразуются по некоторому представлению группы Ли в каждой точке х
X = Л(*)=?а'0k)Tu
і
o' = oX.
Матрицы Ti — генераторы группы. To, что форма связности принимает значения в алгебре Ли, означает, что она может быть записана в виде
Ф = dxn<pn, ф„ = ^ V1nTi.
Поля Vh(x) — это хорошо известные потенциалы Янга — Миллса. Закон преобразования
Ф'= JTtyT +JT"1 <ЫГ
сводится в инфинитезимальном варианте к хорошо известному закону преобразования для янг-миллсовских потенциалов
фа = і [фа, Л] + idаА .
Первое структурное уравнение Q = do — сгф определяет некоторое тензорное выражение через производные и потенциалы
6. Суперсимметрия — супергравитация 135
Янга — Миллса. Это хорошо известная ковариантная производная
Qt = dX“ U? ff< “ GsTlsVa1) = dxa(®aoY.
Второе структурное уравнение
dq> = фф + F
определяет тензорное поле F через янг-миллсовский потенциал Ф и его производные. Это хорошо известное поле Янга — Миллса
F = ~dxa dxbFab = dxadxb (^2- Фб + ФаФб) ,
^ab == Qxa Фб фа 4“ [фа> Фб]-
Первое тождество aF — —dQ + ?їф означает, что между производной от ковариантной производной и полем Янга — Миллса есть связь. Оставляя проверку деталей читателю, напишем окончательный результат
(®т®п - ФпФт) a = - oFmn.
Второе тождество dF — Fq> — фF означает, что справедливо циклическое тождество для ковариантных производных поля Янга — Миллса
пт + ®nF ml + ®mFin = 0.
Общая теория относительности
В этом случае предполагается, что тетрада ЕМА является независимой полевой переменной ета(х). Под действием общих преобразований координат (эйнштейновских преобразований)
Xfm = Xfm (х) она преобразуется по закону
/ а— дхп а с т — дх/т п ’
Поэтому форма
ea = dxmem°
есть скаляр по отношению к преобразованиям Эйнштейна;
е,а(х') = еа (х).
Заметим, что форма, получаемая внешним дифференцированием из скаляра, есть снова скаляр.
136 Й. Весе
Структурная группа — это локальные преобразования Лоренца, и тетрада преобразуется по закону
e'mb(x) = ema(x)Lab(x).
Индексы (т), на которые действуют преобразования Эйнштейна, называются мировыми индексами, индексы (а), меняющиеся под действием группы Лоренца в касательном пространстве, называются лоренцевыми индексами. Лоренцевы индексы можно поднимать и опускать с помощью t]ab. Посредством тетрады и обратной к ней мировые индексы можно преобразовывать в лоренцевы и наоборот. Этим способом любая тензорная плотность Эйнштейна может быть преобразована в эйнштейновскую скалярную плотность, являющуюся лоренцевым тензором. Его компоненты берутся в системе координат, которая описывается тетрадой.
В качестве формы о возьмем саму тетраду и используем первое структурное уравнение для определения кручения Qa:
dea = eb q>6a + Qfl, dxm dxn dxm dxn (embq>nba + I .
Кручение Qa = dxmdxnQnma — это 2-форма, которая преобразуется как лоренцев вектор, будучи скаляром относительно преобразований Эйнштейна. В теории без кручения (Qnma = 0) первое структурное уравнение можно использовать, чтобы выразить СВЯЗНОСТЬ фпьа через тетраду. Действительно, поскольку форма связности принимает значения в алгебре Ли, выражение
Щтп = ЄтаЄпЬ<$ІЬа аНТИСИММЄТрИЧНО ПО П И т\ фImn — —фInm- По-
этому мы можем разрешить уравнение
а ( д д \
&l ^ Qxti &та tm ^naJsrzzfPmnl Фnmt
и получить
фпт, Iszx-ieiadnema ^n ^mPla + ет&1епа
&т дп&1а + ^та дтвпа}.
Второе структурное уравнение определяет тензор кривизны в терминах связности:
dcp = фф + F, F = ^ dxm dxnRnm, dxm dxn Фт/ - фтасфп/) == j dxm dxnRmnab,
откуда
Rmna == J^xn ^ma dxm ^na Фта Фпс “Ь Фпа фтс •
6. Суперсимметрия — супергравитация 137
Поскольку Rmn — Коэффициенты 2-формы, МЫ получаем Rrnnab = = —Rnmab- Как и выше, Rmnab принимают значения в алгебре Ли по индексам а, Ь. Это означает, что
Rmnkl &l Rmnbat Rmnkl== Rmnlk-