Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
компактных или коммутативных групп можно задать равенством
u'(g) = u(g~1)-
Изучение абстрактных банаховых алгебр привело к более глубокому пониманию
многих проблем, тесно связанных с математической статистикой. Основной
результат здесь - теорема Гельфанда о представлениях коммутативных
банаховых алгебр, согласно которой всегда существует непрерывный
гомоморфизм такой алгебры в алгебру всех непрерывных функций на локально
компактном хаусдорфовом') простран-, стве, обращающихся в нуль- на
бесконечности. Те коммутативные банаховы алгебры, для которых это
отображение - изоморфизм, называются полупросты-ми2). (Все указанные выше
алгебры полупростые.)
') Под хаусдорфовым пространством мы понимаем пространство, в котором
предел сходящейся последовательности определен однозначно.
s) Отметим, что термин полупростой здесь имеет другой смысл, чем в теории
групп Ли.
80 12.1. Бесконечномерные представления групп
Если банахова алгебра содержит единицу (как, например, алгебра Li(G) для
компактных групп О), то соответствующее хаусдорфово пространство
компактно. Вообще же говоря, "каноническая форма" коммутативной банаховой
алгебры - алгебра обращающихся в нуль на бесконечности непрерывных
функций на локально компактном пространстве1).
Под унитарным представлением U (g) в гильбертовом пространстве 36
понимается гомоморфное отображение g-*U(g) группы G в пространство всех
унитарных операторов, действующих в 36, слабо непрерывное в том смысле,
что функция (U(g)x, у) непрерывна как функция от g при всех х, у ^.36.
Неприводимое представление здесь снова определяется как такое
представление, для которого в 36 не существует замкнутого инвариантного
подпространства. Два представления U(g) и V(g) называются эквивалентными,
если существует такое унитарное отображение W одного пространства
представления в другое, что U(g)= WV (g)W~l. Можно определить
коммутаторную алгебру данного представления как алгебру всех ограниченных
линейных операторов А, Дёйствующих в 36 и таких, что AU(g) = U(g)A. Тогда
нетрудно показать, что представление U(g) неприводимо тогда и только
тогда, когда коммутаторная алгебра содержит лишь операторы, отличающиеся
от тождественного только скалярным множителем. Если же эта алгебра
коммутативна, то соответствующее представление называется представлением
с однократным спектром.
Если представление U равно прямой сумме представлений Ud), Ud),... (так,
что пространство 36 разлагается в сумму ортогональных подпространств, в
каждом из которых действует некоторое отображение иЩ и каждое из
представлений W) неприводимо, то коммутаторная алгебра представления U
коммутативна тогда и только тогда, когда все Ud) неэквива-
]) Отображение алгебры L\{0), где группа О локально компактна и абелева,
в алгебру непрерывных функций достигается путем сопоставления функции ев
преобразования Фурье (ср. раздел 11.1).
12.1. Бесконечномерные представления групп 81
лентны. Этот результат хорошо согласуется с интуицией, приобретенной в
конечномерном случае. Если задано произвольное конечномерное
представление U, то всегда можно построить представление с однократным
спектром, квазиэквивалентное ему в том смысле, что каждое
подпредставление U содержит подпред-ставление, эквивалентное некоторому
подпредставле-нию соответствующего представления с однократным спектром.
Представления, квазиэквивалентные в указанном смысле некоторым
представлениям с однократным спектром, называются представлениями типа I.
В бесконечномерном случае не все представления имеют тип I; например, в
этом случае можно построить представление U, не являющееся представлением
с однократным спектром и такое, что всякое представление,
квазиэквивалентное U, обязательно также и эквивалентно U. Так как теория
таких представлений крайне сложна и в некоторых важных отношениях пока
еще остается весьма неполной, мы ограничимся здесь лишь рассмотрением
групп, все представления которых имеют тип I. Этот класс групп типа I
содержит, в частности, все компактные и все коммутативные группы, а также
все связные полу-простые группы Ли. Для таких групп всегда можно
единственным образом разложить данное представление в прямой интеграл по
неприводимым представлениям. Под этим понимается следующее. '
Можно найти локально компактное пространство R с борелевской мерой m на
нем и сопоставить каждому г е R определенное гильбертово пространство Жт
и представление UW(g) группы G, действующее в Жг- Топологический прямой
интеграл Ж этих пространств Жт определяется тогда как замыкание
(относительно скалярного произведения в Ж, которое будет указано чуть
ниже) линейной оболочки всевозможных функций f(r) со значениями в Жг (при
обычном определении линейных комбинаций функций), таких, что скалярное
произведение в Жт векторов f(r) и g(r), т. е. числовая функция (f(r),
g(r) )г< для любых рассматриваемых fug непрерывно зависит
82 12.1. Бесконечномерные представления групп
от г. Скалярное произведение в этом пространстве Ж определяется формулой
