Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
смежности GjK, где К - компактная подгруппа в G, каждый элемент которой
переводится в себя заданным лвтоморфиз-мом и которая содержит единичную
компоненту замкнутой подгруппы всех неподвижных точек автоморфизма
(единичной компонентой называется связная компонента, содержащая
единичный элемент).
Симметрическое пространство Т изометрично пространству классов смежности
GjK при введении некоторой, по существу однозначно определенной, рима-
новой метрики в касательном пространстве к GjK в точке, соответствующей
единичному классу смежности (после чего это касательное пространство
можно перевести в касательное пространство в любой другой точке,
например, с помощью левого сдвига). Обозначим через to точку, которая
отображается в единичный элемент пространства GjK.
Для двумерной сферы S2 группой G служит группа всех вращений, а группой К
- группа вращений вокруг фиксированной оси. Геодезическая симметрия р0 в
этом случае, разумеется, осуществляется при помощи поворота вокруг этой
оси на 180°. В случае пространства Лобачевского за G можно принять группу
унимодулярных комплексных матриц второго порядка, а в качестве К -
соответствующую двумерную собственную (с определителем, равным 1)
унитарную подгруппу. Инволютивный автоморфизм здесь можно задать формулой
А-+А*~1, где А-унимоду-
*) Если рассматривать G как группу изометрий пространства G/К ~ Т, то эти
инволютивные автоморфизмы можно задать формулой g -> Ро?Що, где ро -
геодезическая симметрия относительно точки to, соответствующей единичному
классу смежности из GjK.
13.1. Симметрические пространства
89
лярная комплексная матрица, а звездочка означает эрмитово сопряжение (т.
е. переход к транспонированной комплексно сопряженной матрице). То же
пространство можно определить и как пространство классов смежности группы
Лоренца по трехмерной ортогональной группе. Про симметрическое
пространство Т = G/К говорят, что оно однородно относительно группы G
(однородно в том смысле, что группа G транзитивно действует на множестве
Т).
Читатель может заметить аналогию между этими симметрическими
пространствами и рассматривавшимися в разделе 5.1 конечными множествами
Т, на которых действует конечная группа подстановок. В разделе 6 был
рассмотрен случай, когда существует такое взаимно однозначное отображение
ц множества Т на себя, что ц2 е G, pGp-1 = G и для любой пары точек s я t
найдется элемент g е G, удовлетворяющий соотношениям gs = ц/, gt = рл.
Если такое отображение существует, то коммутаторная алгебра
соответствующего "подстановочного представления" коммутативна. Само
подстановочное представление оказывалось эквивалентным представлению G,
индуцированному единичным представлением подгруппы К, и из "теоремы
взаимности" Фробениуса следовало, что единственные неприводимые
компоненты этого подстановочного представления - те неприводимые
представления группы G, которые при сужении на К содержат один раз ее
единичное представление. Этот факт играл основную роль в развитой в
разделе 5.1 теории зональных и обычных сферических функций. Заметим, что
если | - вектор одномерного подпространства пространства, в котором
действует неприводимое представление, инвариантного относительно всех
преобразований этого представления UW(g), отвечающих элементам подгруппы
К, то
iu(r> (g)l
пропорционально зональной сферической функции, а величина
90
13.1. Симметрические пространства
где х, - это i-й базисный вектор пространства представления,
пропорциональна i-й обычной сферической функции.
Теперь мы собираемся выяснить, в какой мере можно перенести эту теорию на
случай симметрических пространств. Кажется естественным ожидать, что
такое перенесение возможно, так как геодезическая симметрия относительно
точки t0 (обозначаемая символом ро), очевидно, удовлетворяет всем
перечисленным выше условиям1), причем Ро = е. Зельберг [1] рассмотрел
также и общие слабо симметрические пространства, для которых G, но не
обяза-
тельно совпадает с е; мы здесь, однако, ограничимся случаем обычных
симметрических пространств.
Основную роль снова играют неприводимые унитарные представления класса 1
(содержащие единичное представление подгруппы /(). Если U(x)(g) -такое
представление2), можно рассмотреть функцию
q>W(f) = (t/Wte)6, g), gU = t, (1)
где ?- вектор гильбертова пространства, в котором действует U^(g),
инвариантный относительно всех операторов №>(&) при k е /(. Так как
{uw{kigk2n, i)=\u(X)(g)t, g),
то легко видеть, что функция cpW(t) зависит лишь от преобразования,
переводящего t0 в t\ (т. е. от класса смежности, содержащего g), что.
оправдывает наши обозначения. Более того, она инвариантна относительно
левых сдвигов на элементы из /(:
q>m(kl) = q>m(t), k<=K,
где под kt понимается класс смежности kgK, так что срW(f) на самом деле
зависит лишь от "обобщенного
') Пусть go переводит середину геодезической линии, соединяющей s и t, в
точку t0, a g 1 удовлетворяет соотношению giPo = (Togo- Тогда если g =
