Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
группа (G/Н)~ изоморфна группе Я. Если f удовлетворяет указанным выше,
условиям, то мы получаем формулу суммирования Пуассона
оо оо
2 / (") = У^2л 2 ? (2яп).
-оо -оо
Можно выписать и более общее соотношение
оо t оо
2/ (Ая)е'" (-^¦+ 2лв),
--оо -оо
которое представляет собой частный случай формулы
f / (ffoA) t' (goh) dh = f / (ax') da,
н mm)-
где л'еЯ, а меры Хаара на группах и подгруппа*, нормированы
соответствующим образом.
') Для удобства мы будем писать (G/Н)~ вместо того, чтобы располагать
символ перехода к группе характеров над всем выражением. '
11.2. Стационарные процессы
71
Следует заметить, что в рассмотренном нами частном случае мера Хаара на
множестве целых чисел приписывает вес 1 каждому целому числу.
Инвариантная же мера на группе характеров нормирована условием, что мера
всей этой группы равна единице. Оказывается что так же должно быть в
случае любых дискретных абелевых групп и их групп характеров, если
требовать, чтобы была верна формула обращения.
Рассмотрим стационарный случайный процесс второго порядка x(g), заданный
на локально компактной абелевой группе G, т. е. процесс, для которого
\{gu gz) = E(x(gl)x(gJ) = y(ggu gg2), gz=G
(предполагается, что фигурирующее здесь математическое ожидание конечно).
Тогда у (gIt g2)==v(gf'g1, е), так что вместо y(gi,g2) можно просто
писать Предположим еще, что функция y(g) непрерывна в точке g = е (откуда
уже легко следует ее непрерывность во всех точках). Легко видеть, что эта
функция положительно определена, как и должно быть в случае любой
ковариационной функции. Поэтому
где ш(х) - так называемая спектральная мера процесса. Как будет видно из
дальнейшего, это представление ковариационной функции соответствует
дисперсионному анализу процесса x(g), играющему в некоторых специальных
случаях очень важную роль в практических приложениях. Частный случай,
когда мера т(%) абсолютно непрерывна, представляет наибольший интерес.
В действительности мы обычно не в состоянии наблюдать значения функции
y(g) при всех g, а в лучшем случае можем оценить лишь часть
последовательности {у(?оА)}> - где h пробегает некоторую
11.2. Стационарные процессы
а
72
11.3. Центральные предельные теоремы
дискретную подгруппу Н cz G. В таком случае можно оценить также величину
2 V (ёФ) %' (ёФ)> н
которая (в предположении, что ряд 2|y(&o^)I сх0'
н
дится) в свою очередь равна
J У (ax') da.
(а/нг
Таким образом, саму спектральную плотность у непосредственно нельзя
наблюдать, но можно представить ее в "склеенном" виде, причем
"склеивание" имеет здесь особенно простую форму. Для частного случая,
когда G - аддитивная группа вещественных чисел, получаем
оо ____ оо
- ОО -00
где (рискуя создать путаницу) мы обозначили в правой части функцию у
буквой f, чтобы достичь согласия с общепринятым обозначением спектральной
плотности. Эффект "склеивания" здесь полностью аналогичен разобранному в
разделе 7.
11.3. Центральные предельные теоремы
Множество всех вероятностных мер на локально компактной группе G образует
полугруппу относительно операции свертывания в качестве группового
умножения. В настоящем разделе мы будем обозначать через pv свертку двух
мер р и v. Таким образом, если Е - измеримое множество относительно меры
pv, то
pv (Е) = J р (Ех~г) d\ (х). а
Рассматриваемая полугруппа содержит единицу - меру е, целиком'
сосредоточенную в одной точке, а именно в единице группы. Эта мера е
идемпотентна,
11.3. Центральные предельные теоремы
73-
т. е. такова, что ё2 = е. Однако помимо нее существует еще много других
идемпотентных мер, например мера Хаара на некоторой компактной подгруппе
группы G. Полугруппу всех мер можно снабдить слабой топологией, т. е.
слабейшей из всех топологий, относительно которых непрерывны все
функционалы вида J' f(g)d[i(g), где задающая функционал функция f
непрерывна и ограничена. Исходная группа G вкладывается в получаемую
топологическую полугруппу 5 с помощью отображения, сопоставляющего
элементу g вероятностную меру, целиком в нем сосредоточенную; эту меру мы
будем также обозначать символом g. Ясно, что в таком случае [ig(E) =
p,(?'g"1).
Естественно желание получить обобщенные формы предельных теорем теории
вероятностей (например, усиленного закона больших чисел или центральной
предельной теоремы), применимые к вероятностным мерам на группе G. В
разделе 9.2 было указано, как с помощью теории представлений можно
получить центральную предельную теорему для мер на компактной группе
вращений трехмерного пространства. Ясно также, что теорема полученного
там вида будет справедлива и для мер на произвольной компактной группе. В
самом деле, в случае компактной группы, используя те же методы, можно
показать, что всегда найдется такой элемент g нашей группы, что
последовательность {[ing~n} сходится к инвариантной мере на некоторой
замкнутой подгруппе группы G.
Отметим еще, что теория представлений в действительности явно не
использовалась при доказательстве многих важных результатов о
