Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
данным представлением группы. Подробное изложение этого вопроса заняло бы
слишком много места; для дальнейшего достаточно знать, что тензорное
пространство распадается на сумму неприводимых подпространств,
инвариантных относительно бисимметрических преобразований, следующим
образом. Рассмотрим разбиение числа f на целочисленные слагаемые:
f - fl+f2+ ... +fw> fls5=f2^ ••• 0.
где N-размерность исходного векторного-пространства, над которым строится
пространство тензоров ранга f (это означает, что все индексы ij тензора
F(iu . ..) пробегают значения от 1 до N). Расположим целые числа от 1 до
f в W строках, в /-й из которых имеется ровно столбцов; например, при N =
= 3 разбиению f = 6 = 3 + 2+1 соответствует расположение
1 2 3
4 5
6
Рассмотрим все тензоры вида cF, где с - оператор
с = 2 2 bqq • р\
ч Р
62 10.2. Собственные значения ковариационной матрицы
здесь р пробегает все перестановки индексов тензора F, оставляющие строки
диаграммы инвариантными, a q - все перестановки, действующие аналогичным
образом по отношению к столбцам; б? = +1 в случае четной перестановки q и
= -1 в случае нечетной. При этом мы получим в точности все неприводимые
подпространства пространства тензоров ранга /, в котором действует
порождаемое тензорным произведением матриц представление группы GL(N,R).
На самом деле таким путем получаются все неприводимые подпространства
тензорного пространства, если заменить поле R любым расширением поля
рациональных чисел. В частности, таким образом можно получить и все
неприводимые представления группы GL(N,C) '). Эти представления остаются
неприводимыми, если эту группу заменить унимодулярной группой SL(N,C) (то
же самое верно и в отношении SL(N,R), если исходить из GL(N,R)) или
унитарной группой U(N). Последний факт особенно важен, так как унитарная
группа компактна.
10.2. Распределение собственных значений ковариационной матрицы
Рассмотрим снова матрицу ЕЕ' раздела 8.2 и займемся задачей получения
распределения ее собственных значений. Если 2 = /, то это сравнительно
нетрудно сделать, так как плотность вероятности зависит здесь лишь от
этих собственных значений. Соответствующее этому случаю распределение
получено Андерсоном [1, стр. 430]. В случае 2 Ф I Джеймс [3] следующим
образом подошел к задаче нахождения искомого распределения. Плотность
распределения собственных значений, очевидно, не меняется при замене Е на
НЕ (где Н - ортогональная матрица) в выражении для плотности вероятности
элементов матрицы Е, так как при этом не меняются сами соб-
') Обвертывающая алгебра представления группы GL(1V,R) в пространствах
тензоров ранга f, рассматриваемая над полем комплексных чисел, очевидно,
совпадает с обвертывающей алгеброй группы GL(N,C),
10.2. Собственные значения ковариационной матрицы 63
ственные значения. Поэтому искомая плотность не изменится и при замене
исходной гауссовой плотности смесью плотностей (т. е. их линейной
комбинацией с неотрицательными коэффициентами, в сумме равными единице),
в каждом из слагаемых которой матрица Е заменена на некоторое НЕ (а 2
всюду одно н то же). Следовательно, распределение собственных значений
матрицы ЕЕ' совпадает с их распределением в случае исходной плотности
f(2, ??') =
= 1^-^^ехр[-т1г(2~1я??/я/)]Ф(я), (1)
0(4) 1 1 '
где О (q)-это (/-мерная ортогональная группа, а р, - мера Хаара на ней.
Но теперь плотность f(2, ??') зависит лишь от собственных значений матриц
2 и ЕЕ' в силу двоякой инвариантности меры Хаара (которая позволяет
заменить Н на НН\, где Н\ЕЕ'Н\ - каноническая форма матрицы ЕЕ') и
свойств следа произведения матриц (tr {^НЕЕ' Н') = = tr (Н'^НЕЕ')). Таким
образом, плотность распределения собственных значений матрицы ЕЕ' равна
(2я)ЛТ/2 f (2, ЕЕ') f exp [tr (EE')/2] '°'
где f0 -та же плотность, отвечающая случаю 2 =/, вид которой, как было
уже указано, известен. Задача свелась тем самым к вычислению интеграла
(1). Разлагая экспоненциальную функцию в степенной ряд, можно еще
упростить задачу, сведя ее к вычислению интеграла
I {tr {АНВН')У йц{Н),
)
где А и В - симметрические положительно определенные матрицы, a f-
неотрицательное целое число.
Но А и В можно считать симметрическими тензорами ранга 2, на которые
группа преобразований GL(q,R) действует по формуле
А -> LAL'.
64 10.2. Собственные значения ковариационной матрицы
Величина же {tr(/4B)}/ представляет собой однородный полином степени 2/,
каждый из членов которого имеет степень / относительно элементов матрицы
А и степень / относительно элементов' матрицы В. Иначе говоря, это
элемент тензорного произведения двух пространств тензоров ранга 2/,
первое из которых есть /-кратное произведение на себя пространства
симметрических тензоров А, а второе аналогичным образом определяется по
В. Обозначим эти пространства через К2ДА) и У2ДВ). Надо помнить, однако,
что они не будут полными тензорными пространствами ранга 2/ над (7-мерным
векторным пространством, так как А и В сами являются симметрическими
