Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хеннан Э. -> "Представления групп и прикладная теория вероятностей" -> 25

Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.

Хеннан Э. Представления групп и прикладная теория вероятностей — М.: Мир, 1970. — 115 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppiprikladnayateoriya1970.pdf
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 38 >> Следующая

Если мера р безгранично делима и Я- подгруппа, относительно которой р
строго Я-равномерна, то р известна, если задана характеристическая
функция индуцированной меры (которую мы обозначим через р/Я) на
факторгруппе G/Н. Под индуцированной мерой мы понимаем здесь меру,
которая приписывает множеству Я из G/Н меру р множества всех элементов
группы G, отображаемых в Е- при естественном гомоморфизме, т. е.
отображении, сопоставляющем всякому элементу класс смежности, его
содержащий. Если v = р/Я, то Ov(x) нигде не обращается в нуль. В самом
деле, если % содержится в аннуляторе множества Я, то
Фу (х) = j X (k) dv (k) = J % (g) dp, (g) = (%) ф 0
о/я о
(второе равенство следует непосредственно из определения меры v). Так как
группа характеров прямого произведения групп равна прямому произведению
групп характеров, то группа характеров факторгруппы G/Н совпадает с
аннулятором множества Я. Отсюда следует наше утверждение.
Характеристическая
12.1. Бесконечномерные представления групп 77
функция Фу(х) задается с помощью следующей формулы, верной для некоторой
ветви функции logtf)v:
log <DV (%) = 21 а, {J,%} (е) + ail{XtXfl}(e) +
где G \ {е} обозначает множество G без точки е, XI(g)- положительная мера
на этом множестве, а ац - элементы некоторой симметрической матрицы. Под
{Хг%}(е) здесь понимается значение функции Xt% в точке е, где Х{ -
дифференциальный оператор, действующий на группе характеров. Аналогия с
классическим результатом видна, например, из сопоставления с формулами в
книге Лоэва [1, стр. 323].
12.1. Бесконечномерные представления групп
Классический пример гильбертова пространства - пространство всех функций
x(t), заданных на множестве Т, на котором определена мера m(t), и
удовлетворяющих условию
Множество Ж всех таких функций образует векторное пространство над полем,
комплексных чисел. Если положить
то для любой последовательности {хп}, такой, что |хп - хт\ ->0 при т, п->
оо, будет существовать элемент х^Н, для которого \хп - *| ->().
Неотрицательное число |х| называется нормой вектора х.
Векторное пространство, в котором задана операция скалярного умножения
(х\,х2), обладающая обычными свойствами, полное относительно сходимости
по
I i 1
+ J % (g) - 1 ~ 2] {Xi%} (е) Xi (g) dM (g),
0\<e}L i
J | x (t) I2 dm (t) < oo.
T
T
\x\2 = {x, x),
78
12.1. Бесконечномерные представления групп
норме, называется гильбертовым пространством'). Под линейным оператором в
таком пространстве понимается линейное отображение этого пространства на
самого себя. Особо важно для нас будет множество ЗИ(Ж) ограниченных
линейных операторов Л, для которых существует конечное наименьшее
положительное число ||Л||, удовлетворяющее условию
| Лх|^|| А III х | при всех геЖ
Пространство $(Ж), очевидно, является алгеброй, и, как можно показать,
оно полно относительно метрики, порождаемой нормой |]ЛЦ, так что если
IIЛп - Лт|| ->0 при т, п-> оо, то найдется такой оператор Ле^ (Ж), что ||
Л " - Л || -> 0, Кроме того, если Л, В <=38(Ж), то
|| ЛБ|К||Л||||Б||.
Алгебра, состоящая из элементов х, для которых определена норма с
указанными выше свойствами, называется банаховой алгеброй2). Банахова
алгебра !%{Ж) обладает еще дополнительным свойством симметрии,
заключающимся в том, что она замкнута относительно инволюции3) Л -*¦ А*,
где Л* определяется из соотношения (Ах, у) = (х, А*у), верного при всех
х, у^Ж, так что сопряженный оператор А* - это естественное обобщение
эрмитово сопряженной матрицы. Оператор Л называется унитарным, если (Ах,
Ау) = (х, у) при всех х, у е Ж.
Дальнейшие важные примеры банаховых алгебр можно получить следующим
образом. Рассмотрим ло-
') В дальнейшем будут рассматриваться лишь сепарабельные гильбертовы
пространства, т. е. такие, в которых существует не более счетного числа
ортогональных элементов, линейная оболочка которых совпадает со всем
пространством.
г) В русской научной литературе вместо термина банахова алгебра чаще
употребляется термин нормированное кольцо. - Прим. ред.
3) В теории банаховых алгебр операция А -> А* называется инволюцией,
если она обладает свойствами 1) (А*)* - А,
2) (аА + (3.6) * = а А* + (3 В* и 3) (А В) * = В* А*. - Прим. ред.
12.1, Бесконечномерные представления групп 79
кально компактную группу G и множество L\(G) всех функций u(g) на группе,
для которых -
I И I = J" I И (g-) I rfg- < ОО. (1)
о
Это множество образует векторное пространство над полем комплексных
чисел; в нем можно определить произведение (свертку) • и * v при помощи
равенства
и * v (g) = J и (gh) v (h~l) dh = j u(h)v (h~'g) dh. о a
Получаемая алгебра является банаховой алгеброй относительно нормы (1).
Она называется Тгалгеброй или алгеброй суммируемых функций на группе G,
обозначается L{(G) и представляет собой естественное обобщение алгебры
R(G), введенной в разделе 3.1 (если рассматривать в качестве элементов
алгебры R(G) не и, a u(g)). Li-алгебра также симметрична относительно
соответственно выбранной инволюции, которую, например, в случае
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed