Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
gf1g0, то p0s = gt, \i0t = gs (см. так-' же сноску на стр. 92).
2) Множество Л представлений класса 1 теперь уже не обязательно счетно.
13.1. Симметрические пространства
91
расстояния" между точкой t0 и траекторией Kt, на которой лежит t.
Функции ф<M(t) (определяемые однозначно с' точностью до постоянного
множителя для каждого неприводимого представления класса 1) называются
(положительно определенными) зональными сферическими функциями. Они
положительно определены в том смысле, что если их рассматривать как
функций <p(X)(g) на G (постоянные на классах смежности группы G по К), то
2 2 Ф(Х) (ё'Г'ё'/) zi2s ^ 0 (2)
I J
при любом выборе п элементов g{ группы G и последовательности п
комплексных чисел ztl).
В случае двумерного евклидова пространства Я2 зональные сферические
функции имеют вид
2Я
J0{lo.) = ~ ^ eilacosedQ, о
где а - расстояние от точки, для которой определяется значение
сферической функции, до начала координат, а К - вещественное число.
Группой G здесь, разумеется, служит группа евклидовых движений плоскости.
В случае сферы S2 эти функции имеют вид
Рх (cos 6),
где Рх - полином Лежандра степени X, а 9 - угол поворота, переводящего
фиксированную точку (скажем, северный полюс) в данную точку сферы. Здесь
неприводимые представления, порождающие сферические функции по формуле
(1), можно перенумеровать целыми неотрицательными числами. Для плоскости
Лобачевского Ь2 2) они имеют вид
P\\i) (chг), где v(X) = -у+(4-^)/2> ^ > 0;
*) Начиная с этого момента, положительно определенную зональную
сферическую функцию для всех X мы будем считать однозначно определенной
условием нормировки ф^(е) = Г
2) Плоскость Z.2 - это подмножество пространства Z-з, получающееся, если
положить Xj зе 0,
92
13Л. Симметрические пространства
г - геодезическое расстояние от точки, в которой вычисляется значение
сферической функции, до точки (1, 0, 0), a Pv[x) - функция Лежандра.
Если | - тот же вектор, что и в формуле (1)у можно образовать выражения
вида
q4w(0 = (t/w(g-)I, *"),
где {хп} - последовательность векторов, образующих ортогональный базис
пространства, в котором действует представление Д(Ч Функции qp^ (t)
называются (обычными) сферическими функциями. В то время как функция
cp(l>(t) зависит лишь от расстояния между точками t0 и t (при
соответствующем определении понятия расстояния), функции <р("Л)(0 в общем
случае уже зависят от самой точки t.
В случае двумерного евклидова пространства за обычные сферические функции
можно принять функции Jn(ka)e~in% В случае сферы S2 такими сферическими
функциями будут сферические гармоники
?Кп(в, ф) = е!''гфРл(соз0); Л = 0, 1, п - 0, ± 1, .. .,
где Pi обозначает присоединенную функцию Лежандра. В случае плоскости
Лобачевского Ь2 эти сферические функции имеют вид
(/ , \п Г (v (Я) -f 1 - | п |) )'А рп /гиг\
t(~1} пЖ)ТнТлТ/ е Pv {k)-{ch r)>
n = 0, ±1, .. .,
где ф - координата точки окружности + х2~) = t2- - 1 = const, а г -
геодезическое расстояние от точки (1, 0, 0) до этой окружности.
Для функций, заданных на симметрических пространствах, сохраняется
большая часть классического анализа Фурье. Рассмотрим, например,
пространство L(G) всех (комплекснозначных) функций f с компактным
носителем, двояко инвариантных в том
13.1. Симметрические пространства
93
смысле, что f(k\gk2) = f(g) при всех klt k2^K. Тогда можно определить
преобразование Фурье
ГМ = | f (g) (g) dg',
при этом, если
fi*h(g)= | h(gh~l)f2(h)dh,
то
(f 1 * fz) -J\' ?2-
Введем обозначение f (g) = f(g~l) и заметим, что операция свертывания,
разумеется, коммутативна, если и fь и f2 принадлежат L(G).
Будем говорить, что мера р, заданная на группе G, позитивна, если
0, fei(G).
Тогда справедлива
Теорема Планшереля. Если р- произвольная позитивная мера на группе G, то
ей соответствует такая однозначно определяемая мера р на множестве А, что
для любых функций /, fb f2 е L(G)
(1) f имеет интегрируемый квадрат модуля отнд-сительно меры р,
(2) J fi *J2dp= | fif2dp.
Если через ре обозначить меру, сосредоточенную в единице нашей группы (т.
е. приписывающую вес единица точке g = е и нулевой вес любому
борелевскому множеству, не содержащему е), то в силу теоремы Пла'ншереля
fi * h (е) = | f i (g) Mg) dg= J fi?2 dX,
где через dX обозначена мера (называемая мерой Планшереля),
соответствующая мере ре. Гомоморфизм /->•/ (где f^L(G)), описываемый
сформулированной теоремой, продолжается до изоморфизма
94 13.2. Стационарные процессы на однородных пространствах
пространства всех двояко инвариантных функций на G, имеющих интегрируемый
квадрат модуля, на пространство всех функций, имеющих интегрируемый
квадрат модуля относительно меры dk. Для таких двояко инвариантных
функций справедливо также равенство
f(g)=\ mWig)dK
являющееся аналогом известной формулы обращения теории интегралов Фурье.
Верна также и обобщенная теорема Бохнера, согласно которой для всякой
непрерывной двояко инвариантной положительно определенной функции ф(&)
