Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
оо А,
* (в, ф) = 2 2 z( (а,) ук, i (о, ф),
Х=0 *="-Х
Е {г. (К) г, о*)) = 6{6?f (К),
оо
Y (9)= 2 f (М Р\ (cos 0). х=о
Все проведенные рассуждения'можно перенести на случай произвольной
локально комтктяой группы G типа I, действующей на однородном
пространстве Т, с помощью метода, вполне аналогичного упомянутому в конце
раздела 5.3 в связи с обсуждением ситуации с некоммутативной
коммутаторной алгеброй; за деталями этого вывода читатель отсылается к
работе Яглома [2]. Разумеется, и коммутативный случай также рассмотрен
здесь в неполном объеме; на самом деле он включает в себя и все так
называемые слабо симметрические пространства, описанные Зельбергом
[1], - римановьг многообразия, являющиеся однородными пространствами
относительно некоторой локально компактной группы преобразований G с
изометрией р, удовлетворяющей условиям pGp-1 = G, ц2 е С и [is = gt, p,t
= gs для всех s и t при некотором выборе g. Обсуждение понятия
сферических функций на таких пространствах можно найти в работах
Зельберга [1] и Тамагавы [1].
13.3. Фильтрация и "склеивание"
Рассмотрим снова гильбертово пространство Ж, представляющее собой
замыкание линейной оболочки множества величин x(t). Как и раньше,
ограничимся случаем, когда Т - симметрическое пространство.
Под фильтром будем понимать замкнутый, не обязательно ограниченный
оператор А, определенный на
13.3. Фильтрация и "склеивание"
99
некоторой области 3) в 36 (которую мы будем считать содержащей x(to)) и
удовлетворяющий соотношению
AU(g)x = U (g) Ах, х^Зб, g^G.
Все операторы, принадлежащие коммутаторной алгебре, будут, таким образом,
фильтрами. В случае евклидовых пространств фильтрами будут все операторы
сдвига. В случае общих симметрических пространств некомпактного типа
среди операторов U (g) фильтрами будут лишь операторы вида U(k) для
некоторых 4е/( (поскольку центр группы G здесь обязательно содержится в
К). Ясно, что оператор А определен для всех x(t), так кай если gt0 = t,
то
|| Ах (t) || = \\AU (g) х (t0) || = || U (g) Ax (t0) || = || Ax (t0) ||
в силу унитарности оператора U(g) ')•
Таким образом, множество случайных величин y(t) - Ax(t) определено на
всем Т и представляет собой стационарный случайный процесс. Существуют,
однако, и такие линейные операторы А, что процесс Ax(t) стационарен, но
они тем не менее не коммутируют со всеми операторами U(g). Мы специально
выделили множество фильтров из-за их простоты, к разъяснению которой мы
сейчас и перейдем.
Для описания действия А на x(t) выразим спектральную меру (iy(K) процесса
y(t) через спектральную меру ц(Я) процесса x(t). Так как наше
представление U (g)-представление с однократным спектром, мы можем
единственным образом представить вектор x(t0) в виде функции /(Я), где
при всяком Я значение /(Я) принадлежит пространству, в котором действует
неприводимое представление UW(g). Так как U(k)x(to) = x(t0), то почти все
(относительно меры m на множестве Л) значения / (Я) должны быть
инвариантны относительно всех операторов LAx)(k). Но поскольку вектор
Ax(t0) также инвариантен относительно действия всех операторов U(k), этот
вектор
*) Отсюда ясно, что множество ЯЬ должно быть плотно в 5#; однако
существуют примеры, показывающие, что оно не обязано совпадать со всем Ш.
100
13.3. Фильтрация и "склеивание"
можно представить в виде u(k)f(k), где и (к) -комплексное число. Но тогда
если gt0 = t, то
U (g) Ах (/о) = Н* (/) = и (к) Um (g) f (к),
так что действие оператора А сводится к умножению "неприводимой
компоненты" вектора x(i), соответствующей неприводимому представлению
U(k)(g) группы G, на комплексное число и (к). Таким образом,
у (t) = Ax(t) = '?lJ и (к) cpW (t) dzt {к),
i А
откуда
у у (s, t) = J | и {к) I2 (g) dp (к), gt = s."
Л х
Назовем функцию и(к) передаточной функцией фильтра, а ее модуль |ы(Л) j-
амплитудной характеристикой, или коэффициентом усиления. Причины,
делающие использование фильтров важным, связаны как раз с тем, что в этом
случае, если задан фильтр, можно определить влияние соответствующего
линейного преобразования на спектр, даже если мы не знаем сам спектр.
Дело в том, что линейное преобразование сводится здесь к умножению
спектра на функцию |"(Я) |2, зависящую лишь от выбранного фильтра.
В число наиболее важных операторов, коммутирующих с операторами сдвига (в
случае Т, совпадающего с вещественной осью), входят дифференциальные
операторы. Если теперь мы рассмотрим плоскость как однородное
пространство относительно группы всевозможных движений, то уже не все
дифференциальные операторы будут коммутировать со всеми такими
движениями, а только полиномы от оператора Лапласа А (и, разумеется,
единичный оператор I).
Это положение сохраняется (в обобщенном смысле) и в общем случае. В самом
деле, в случае всех пространств, рассматривавшихся нами выше в качестве
примеров (евклидовы пространства, сфера,
13.3. Фильтрация и <гсклеивание"
101
пространство. Лобачевского L3), любой дифференциальный оператор,
