Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
вероятностях на группах, полученных в последние годы. Вместо этого
упомянутые доказательства основывались обычно на теории топологических
полугрупп и, в частности, использовали экспоненциальные формулы для
полугрупп операторов Tt:
Ttf (g) = { f (g) d\it (g),
н
где png') - однопараметрическая полугруппа мер, a Tt - операторы в
пространстве непрерывных функций
74 11.3. Центральные предельные теоремы
на G (равных нулю вне компактного множества).Данная последовательность
{рп} вкладывалась в однопараметрическое семейство р< с помощью
соотношения
Pi = р.
Эти методы, однако, не входят в круг вопросов, которым посвящен наш
обзор, и поэтому в дальнейшем мы не будем на них останавливаться. Мы
ограничимся здесь лишь кратким обсуждением работы Клосса [2] о
центральной предельной теореме на компактных абелевых группах. Эта теория
широко использует методы преобразований Фурье, которые представляют собой
частный случай общих идей, рассматриваемых в нашей книге. Мы будем
следовать работам Клосса [2, 3].
Заметим, что между мерами р и их характеристическими функциями
Фц (х) = J X (g) d\i (g)
G
существует взаимно однозначное соответствие, при котором pv->-ФдФу. Более
того, р" -> р тогда и только тогда, когда Фц"(х)"+Фд(х) Для каждого
характера х- Легко охарактеризовать устойчивые законы, т. е. законы,
совпадающие со своими степенями. Действительно, функция Фц(х) в этом
случае должна равняться своему квадрату и, следовательно, она может
принимать лишь значения 0 и 1. Если со(р)-носитель меры р, то множество
ш(р) является подгруппой и из равенства
Фц (X) = J X (g) d\i (g) = 1
ю(ц>
следует, что %(g)=l, если geco(p). Ясно, что последнее условие также и
достаточно для устойчивого закона. Множество характеров %, равных единице
на со(р), называется аннулятором подгруппы со(р).Итак, для устойчивых
распределений р функция Фц(х) равна единице на эннуляторе множества со(р)
и нулю вне его. Устойчивые распределения содержатся в более широком
классе мер, инвариантных на классах смежности по некоторой подгруппе Н
группы G. Для
11.3. Центральные предельные feopeMbi 75
таких мер, очевидно, p/i = ц при ЛеЯ. Эти меры называются //-равномерными
(и строго Я-равномерны-ми, если Я - наибольшая из групп, обладающих
указанным свойством). В их случае Фц(х), разумеется, уже не обязана
принимать лишь два значения. Однако необходимым и достаточным условием Я-
равномер-ности остается равенство функции Фц нулю вне ан-нулятора
множества Я.
Устойчивые распределения, таким образом, известны: они исчерпываются
мерами Хаара на замкнутых подгруппах группы G. Следуя ходу рассуждений,
принятому при рассмотрении предельных теорем в классическом случае,
естественно рассмотреть теперь безгранично делимые распределения, т. е.
такие распределения ц, для которых существует "корень п-й степени" v (так
что v" = р) при любом натуральном п. Этот класс, очевидно, включает все
устойчивые распределения (для которых v = p,), но также еще, например, и
закон Пуассона, приписывающий положительный вес ake~a/k\ каждому элементу
вида gh, где g - какой-то фиксированный элемент группы G, имеющий
бесконечный порядок (если g имеет конечный порядок, то это определение
нужно видоизменить очевидным образом). Такому распределению соответствует
характеристическая функция exp{a(%(g)-1)}. Можно показать, что всякое
безгранично делимое распределение строго Я-равномерно.
Клосс, применяя результаты Ханта [1] (которые широко использовались и в
интересной работе Вэна [1]), рассмотрел компактные абелевы группы Ли
(заметим, что этот класс групп довольно скуден: всякая такая группа
обязательно является произведением конечной абелевой группы на группу
тора - прямое произведение некоторого числа групп вращений окружности).
Рассмотрим алгебру Ли группы G. Элементами ее служат касательные векторы
X к групповому многообразию в точке е, определяющие линейные отображения
пространства дифференцируемых функций на этом многообразии (см. раздел
8.1). Таким образом, если X - касательный вектор, а / - дифференцируемая
функция, то определен элемент Xf(e). Точно так же,
76 11.3. Центральные предельные теоремы
если f - дважды дифференцируемая функция, то имеет смысл YXf, где Y и X -
касательные векторы. Возможно взаимно однозначное и взаимно непрерывное
(на самом деле даже дифференцируемое) отображение окрестности нуля
алгебры -Ли (т. е. множества векторов вида tX при t4ia, где а - некоторое
положительное число) на окрестность точки в группы О с помощью
экспоненциального отображения, при котором образом вектора X,
касательного к однопараметрической подгруппе g(t), будет точка g = g(l),
g' = exp^. Этот факт , позволяет использовать компоненты Xi вектора X
относительно данного базиса Xt (где t'=l, ..., р, а р - размерность
группы G) как канонические координаты окрестности точки е группы G. Таким
образом, если g = exp X и X = х,Х,,
г=1
можно использовать числа xif i = 1, р, в качестве координат точки g.
