Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
10.2. Собственные значения ковариационной матрицы 67
функция имеет вид
У (D) - ехр {- с tr (DD')}-,
положив' D = В'1гА-'Ь, мы получим (2).
Если функция у(D) имеет интегрируемый квадрат по мере Хаара на группе
Sb(q,R), то
y(D)= j ф<"(Я)ф(А,)<а, л
где dX- "планшерелева" (т. е. удовлетворяющая формуле Планшереля) мера на
пространстве всех неприводимых унитарных представлений группы SL(q,R)
класса 1, a fW(L)) - (положительно определенная) зональная сферическая
функция. Следовательно,
j у(я'5,/2ЯЛ"'л)ф(Я) =
°+
= J4w J Ф(Л) {h'b4iha~'!i) ф (Я) dX,
л 0+
где ц(Я)- нормированная мера Хаара на 0+. Но
J ф(Л>(н'в'/зНА~'/г)йц(Н)^ J фw(B'/'HA~'l,)dn(H) = °+ °+
= Ф^(5,/2)ф(Ми-1/>),
откуда
J у (я'я'-ял-''2) ф (Я) = J ф {х) фм(5,/а)ф(Я,и,/2) dX.
0+ л
Даже несмотря на неточность этих рассуждений (которую было бы нетрудно
устранить), принадлежащая Джеймсу формулировка, результатов в терминах
функций ZP(A) все равно кажется более предпочтительной, поскольку она
"скроена" так, чтобы подходить к специальному (аналитическому) виду
возникающих здесь функций. Функция ZP(A) определяет зональную сферическую
функцию в том смысле, что
68 J1.1. Локально компактные абелевы группы
выражение ZV(CC) jZv{l), рассматриваемое как функция от С, является
зональной сферической функцией, отвечающей неприводимому представлению,
порождающему это выражение. Однако оно не будет положительно определенной
зональной сферической функцией, так как представление не унитарно (и не
эквивалентно унитарному).
Рассмотрения настоящего раздела можно распространить на другие задачи
многомерного статистического анализа и, в частности, на задачу о
распределении (нецентральном) канонических корреляций и об аналогичных
распределениях, возникающих в связи с так называемой когерентностью
(представляющей собой статистику, описывающую зависимость между двумя
стационарными временными рядами в определенной узкой полосе частот).
Обсуждение этих обобщений можно найти в работе Джеймса [5].
11.1. Локально компактные абелевы группы
Теория представлений локально компактных абелевых групп непосредственно
обобщает классический гармонический анализ функций, заданных на
вещественной оси. Введем снова в рассмотрение множество характеров G,
элементами которого служат непрерывные отображения х группы G в группу
комплексных чисел, равных по модулю единице. Как и раньше, это множество
наделяется групповой структурой, т. е. рассматривается как группа
характеров. Более того, если ввести в G топологию, слабейшую из тех,
относительно которых все функции %(g) при фиксированном g непрерывны, то
группа G сама станет локально компактной. Таким образом, на G, как и на
G, можно определить двояко инвариантную меру. Теорема Понтрягина о
двойственности гласит, что G в свою очередь будет группой характеров для
G. Если группа G компактна, то группа G дискретна. Если группа G равна
прямому произведению двух групп Gi и б?2, то ее группа характеров равна
прямому произведению двух соответствующих групп характеров.
11.1. Локально компактные абелевы группы
69
Если функция f(g) интегрируема по мере Хаара dg (т. е. /<=Li(G)),
определим ее преобразование Фурье формулой
?(х) = J f (g)%(§)dg.
а
Если, например, функция f положительно определена, т. е.
для всех конечных последовательностей элементов группы gi и .комплексных
чисел zu то
f (g) = J ? (х) X (g)
д
при условии, что меры Хаара на группах G и G нормированы соответствующим
образом (что мы в дальнейшем будем предполагать выполненным). Более того,
здесь справедлива обычная теорема Планше-реля, согласно которой
J fi (g) fz (g)dg = J ?i (x)?2 (X) d%, (1)
0 a
если только функции /у и f2 обе имеют интегрируемый квадрат по мере dg,
т. е. /у, f2 eL2(G). В этом случае их преобразования Фурье/ принадлежат
L2(G). Если функция f(g) непрерывна и положительно определена (хотя, быть
может, и несуммируема), то она допускает представление в виде
f (g) = J X (g) dm (x), (2)
a
где m - некоторая мера на G. Обратно, всякая функция, представимая в
таком виде, положительно определена на G. Разумеется, если мера m
абсолютно непрерывна, ее производная Радона - Никодима относительно меры
d% равна f.
fO 11.1. Локально компактные абелевы группы
Рассмотрим, наконец, обобщение формулы суммирования Пуассона. Если Я -
замкнутая подгруппа группы G, то можно задать инвариантные меры на
абелевых группах Я и G/Н так, чтобы выполнялось
равенство J = J J. Пусть f(g)-непрерывная, ин-
в am н
тегрируемая и положительно определенная функция. Тогда ')
\ f(h)dh= f ] (a) da,
Н (Q/НГ
где da - инвариантная мера на (0/Я)~. В случае когда G - аддитивная
группа вещественных чисел, а Я -подгруппа целых чисел, G/Н обращается в
аддитивную группу вещественных чисел по модулю 1. Группа G здесь
изоморфна G, так как каждый характер %(х) имеет вид eixv. Так как Я -
дискретная группа, то Я компактна; она изоморфна группе G/Н, что видно из
сопоставления числу п характера %{n) = ei2nne, 0<1 •<10 <1. Обратно,
