Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
(i, g)= J (f (r)> ? (r))r dm (г).
R
Можно задать отображение пространства представления Жи (в котором
действует заданное представление U(g) группы G) на ^.сохраняющее
скалярное произведение и такое, что если x->f(r), то G(g)x->--> ?ЛГ> (g)
f (г) (последнее утверждение справедливо всюду, за исключением, быть
может, подмножества в R нулевой m-меры). В таком случае мы будем писать
U(g)= j(r)U{r)(g).
R
Меру m нет необходимости специально указывать в наших обозначениях, так
как она сама по себе не существенна. На самом деле играет роль лишь запас
множеств нулевой меры в том смысле, что если т' - другая мера с тем же
запасом множеств нулевой меры, то существует отображение, сохраняющее
скалярное произведение, соответствующего мере т' разложения Ж в прямой
интеграл на аналогичное разложение для т, при котором соответствующие
компоненты представления U (g) эквивалентны. Это отображение имеет вид
f(r)->VpHf(r),
где р (г) -производная Радона - Никодима меры т по мере т'. Если
представление принадлежит типу I, то его разложение в прямой интеграл
можно однозначно определить так, чтобы почти все компоненты этого
разложения были неприводимы (по существу это достигается за счет
расширения семейства боре-левских множеств), а если, кроме того, оно еще
и с однократным спектром, то оно разлагается в прямой интеграл по
неэквивалентным и неприводимым компонентам. Если же представление не
принадлежит типу I, приходится иметь дело с патологическим
обстоятельством, заключающимся в том, что последний факт здесь
оказывается неверным. Это один важный аргумент в пользу рассмотрения лишь
групп типа I.
12.1. Бесконечномерные представления групп 83
Другая причина заключается в том, что в настоящее время не существует
конструктивной теории неприводимых представлений для каких-либо других
групп. Верно, однако, что независимо от того, принадлежит данная группа
типу I или нет, всегда существует достаточно много ее неприводимых
представлений в том смысле, что для любого g е G всегда найдется такое
представление, что для него U (g) не будет тождественным оператором.
Можно подойти к разложению в прямой интеграл по неприводимым
представлениям и с другой стороны. Рассмотрим лишь представления типа I с
однократным спектром. В качестве R в таком случае можно взять множество G
всех неприводимых унитарных представлений группы G; можно показать, что
здесь меру m всегда можно выбрать так, чтобы множество всех проекционных
операторов вида E(S)f(r) = = Ф s(r)f(r) (где q>s(r) - индикатор множества
S cz G и m(S)=?0) совпадало с множеством всех проекционных операторов,
коммутирующих со всеми операторами U(g). Таким образом, символ разложения
в прямой интеграл вектора можно здесь заменить
символом
х = | dE (г) х; (2)
а
отображение же.х -" U(g)x можно описывать не как f (r)-+UW(g)f(r), а как
x-*U(g)x= J Uir)(g)dE(r)x. (3)
о
Семейство проекционных операторов E(S) образует "проекторнозначную меру",
определенную на G, в том смысле, что
(I) Е(0) =0, E(G) =/ (где 0 означает пустое множество),
(II) E(SinS2) = E(Sl)E(S2), .
(III) Е(U Sj) = SE(SA, если Si Л Sj = 0 при
/ (c) i=?j.
84 12.2. Анализ Фурье на локально компактных группах
Если группа принадлежит типу I, то любое представление U (g) можно
представить в виде прямой суммы не более чем счетного числа представлений
с однократным спектром UW(g), t = 0, 1, ....дизъюнктных в том смысле, что
ни одно подпредставление какого-либо из них не эквивалентно ни одному
подпред-ставлению другого. Прямая сумма содержит №(g) ровно I раз, за
исключением представления U^(g), содержащегося счетное число раз.
Разумеется, некоторые из U^(g) (например, f)(0)(g)) могут и
отсутствовать. Каждое из U^(g), будучи представлением с однократным
спектром, само допускает каноническое разложение в прямой интеграл по
неэквивалентным неприводимым компонентам.
12.2. Анализ Фурье распределений вероятностей на локально компактных
группах
Если P(g)-распределение вероятностей, можно определить его преобразование
Фурье Р(г) как- оператор
P(r)x = | U(r) (g)xdP(g),
где х принадлежит пространству в котором действует неприводимое
представление ?АГ). Этот оператор линеен и ограничен в Ж<-г\ причем он
однозначно определяет меру Р (последнее слёдует из того, что существует
достаточно много неприводимых представлений). Композиции распределений
вероятностей (т. е. свертке соответствующих вероятностных мер) отвечает
произведение операторов Р(г); кроме того, верна "теорема непрерывности",
согласно которой последовательность распределений Рп слабо сходится к
распределению Р тогда и только тогда, когда соответствующая
последовательность преобразований Фурье Рп (г) сходится (в смысле сильной
операторной топологии) при любом т к пределу Р(г), являющемуся
преобразованием Фурье распределения Р (под сходимостью в смысле сильной
операторной то-
12.3. Абелевы группы и стационарные процессы 85
пологии понимается сходимость |[-Рп(/")-Р(г)]х\ к нул1о при всяком х е
