Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.
Скачать (прямая ссылка):
Ж(т)).
Приведенные факты позволяют развить аппарат .анализа Фурье распределений
вероятностей на локально компактных группах. В частности, Грекандер [1]
использовал этот аппарат для доказательства того, что если элементы gu i
= 1,..., ti, выбираются независимо друг от друга в соответствии с
некоторыми распределениями вероятностей Р{, i = 1,..., п, то элемент
(gig2 ¦ ¦ ¦ gn) сходится по вероятности при
оо
п -> оо, если только 2 II Рп (r)~l I! < 00 Для каждого
1
неприводимого представления.
12.3. Локально компактные абелевы группы и стационарные процессы
Если G - локально компактная абелева группа, то формулы (12.1.2) и
(12.1.3) становятся особенно простыми. Прежде всего здесь существует
спектральная мера E(S), заданная на борелевских множествах группы
характеров G, такая,что
U (g) = / % (g) dE (х). (1)
а
Этот результат согласуется с формулой (12.1.3), так как в рассматриваемом
случае все неприводимые унитарные представления группы G одномерны.
Рассмотрим теперь процесс x(g), о котором шла речь в разделе 11.2, и
образуем гильбертово пространство Ж, являющееся замыканием линейной
оболочки случайных величин x(g), g <= G, относительно нормы, порождаемой
скалярным произведением у(ёь ёг)-Тогда оператор
U (g0) x(g) = x (gog)
продолжается с помощью соотношений линейности и , непрерывности на все
пространство Ж и при этом,
86
13.1. Симметрические пространства
как легко видеть, он оказывается унитарным. В силу (Г) мы получаем
x{g)= U (g) х (е) = [ х (g) dE (%) х (е),
X
G
что можно переписать также в виде
х (g) = J X (g) dz (х). (2)
в
Ясно, что, введя обозначение z(S) - E(S)x(e), мы будем иметь
Е (z (S,)z(S2)) = 0 при 5,0 52=0. (3)
Полагая E(||z(5)||2) = m(S), получаем
Y (g) = J X (g) (dE (х) х (е), х (е)) = J x(g)dm ty) (4) о о
в полном согласии с результатом раздела 11.2.
Заметим еще, что в действительности формулы (1) - (3) менее важны, чем
(4), так как, вообще говоря, процесс z(S) нельзя построить явно, а
наблюдения позволяют оценить лишь функцию y(g); исходя из ее значений,
можно оценить значения меры m(S)
или ее производной, ибо m(S) связана с у (g) фор-
мулой (4).
13.1. Симметрические пространства
Перейдем теперь к рассмотрению специальной ситуации, имеющей интересные
приложения в прикладной теории вероятностей.
Предметом нашего изучения будут так называемые симметрические
пространства Картана. Эти пространства определяются как римановы
многообразия, в которых геодезическая симметрия относительно каждой точки
многообразия является изометрией. Под словами "Т - риманово многообразие"
понимается, что пространство Т можно локально отобразить (аналитическим
'образом) на евклидово про-
13.1. Симметрические пространства
87
странство, а на касательном к Т пространстве в любой его точке задана
положительно определенная квадратичная форма, с помощью которой можно
непротиворечиво определить понятие геодезического расстояния.
Геодезическая симметрия р относительно некоторой фиксированной точки
определяется следующим образом. Рассмотрим геодезическую линию,
соединяющую данную точку е фиксированной, и сопоставим любой данной точке
точку, лежащую на той же геодезической и симметричную ей относительно
фиксированной точки. Это отображение в случае симме-' трического
пространства должно быть изометрией, т. е. оно должно сохранять риманову
структуру. Кар-тан расклассифицировал такие симметрические пространства,
указав их связь с полупростыми группами Ли, расклассифицированными им еще
раньше.
Оказывается, что симметрические (односвязные) пространства можно разбить
на три типа. Первый тип - евклидовы пространства. Второй называется
"компактным типом", и типичным его примером служит единичная сфера S"_i в
"-мерном пространстве. Наконец, третий тип называется "некомпактным
типом" и его примером служит множество точек четырехмерного пространства,
удовлетворяющих соотношению
t2 - (х2 + х\ + xfj = 1, t ^ 1.
Геодезические линии, проходящие через точку (1,0,0,0), являются
образующими гиперболоида1). Назовем это пространство L3 пространством
Лобачевского, так как это трехмерное обобщение двумерного пространства,
эквивалентного неевклидовой плоскости, построенной Лобачевским.' Всякое
симметрическое пространство можно представить как топологическое
произведение пространств трех указанных типов (содержащее не более одного
множителя каждого типа). Структура симметрических пространств
>) Все геодезические линии здесь представляют собой линии пересечения
этого гиперболоида с плоскостями, проходящими через начало координат. .
.
88
13.1. Симметрические пространства
евклидова типа не нуждается в дальнейших пояснениях. Пространства же
компактного и некомпактного типов можно описать следующим образом.
Рассмотрим связную полупростую группу Ли G и заданный на ней инволютивный
автоморфизм ') (т. е. автоморфизм, квадрат которого совпадает с
тождественным отображением). Тогда симметрическое пространство
(компактного или некомпактного типов) изометрично совокупности классов
