Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хеннан Э. -> "Представления групп и прикладная теория вероятностей" -> 31

Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.

Хеннан Э. Представления групп и прикладная теория вероятностей — М.: Мир, 1970. — 115 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppiprikladnayateoriya1970.pdf
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 38 >> Следующая

-----------
ф(?)= \ ф<;'' (g) dp. (>-). . (3)
J ' \
где |1 - положительная мера конечной полной вариации, которую мы будем
называть спектральной мерой.
Наконец, всякую непрерывную функцию на группе G можно равномерно
аппроксимировать на любом компактном множестве линейными комбинациями
функций вида (^W(g)Ti, ц), где Ш)-неприводимое унитарное представление
группы G. В частности, все функции из пространства L(G) можно равномерно
аппроксимировать "тригонометрическими полиномами" относительно зональных
сферических функций.
13.2. Стационарные процессы второго порядка на однородных пространствах
Рассмотрим семейство случайных величин x{t), заданных на симметрическом
пространстве Т, на котором транзитивно действует группа G преобразований
Ли ').
') За G не обязательно принимать группу всех изометрических
преобразований множества Т, так что, например, ро может и не принадлежать
G. Однако по-прежнему верно, что существует такой элемент g е G, что p0s
= gt, р<^ = gs для всех s и t из Т.
13.2. Стационарные процессы на однородных пространствах 95
Как обычно, стационарную (компактную) подгруппу точки t0 мы обозначим
через К. Предположим, что процесс x(t) стационарен в том смысле, что
непрерывная функция
Y (s, t) = E(x(s)x(t))
является инвариантной функцией двух аргументов. Образуем, как и раньше,
гильбертово пространство Ж, представляющее собой замыкание по норме
l*(OI= VW7T) множества всех комплексных линейных комбинаций- величин
x(t). Скалярным произведением в Ж элементов x(s) и x(t) . тогда будет,
разумеется, (x(s), x(t)) = y(s, t).
Область определения оператора U(g), задаваемого формулой
U (g) x(t) - х (gt),
можно расширить до всего пространства Ж. При этом U(g) оказывается
унитарным оператором в Ж, так как
(U(g)x(s), U(g)x(t)) = y(s, t) = (x(s), x(t)).
Спектральная теория, так же как и в разделе 5, опирается на разложение
представления U(g) группы G на неприводимые компоненты. Здесь также можно
показать, что U (g) - представление с однократным спектром, причем
доказательство близко к тому, которое было приведено в разделе 6.
Отображение x(s) ->*(|i0s) можно распространить на все пространство Ж.
Ясно, что получаемый таким образом линейный оператор М унитарен. Если
теперь К - некоторый оператор из коммутаторной алгебры представления U
(g) и и, v е Ж, то
(.Ки, v) = (KMv, Мй),
где через й и v обозначены случайные величины, комплексно сопряженные и и
v (при и = x(s) и v = = x(t) это проверяется легко, а любые и и v можно
представить как пределы линейных комбинаций
96 13.2. Стационарные процессы на однородных пространствах
таких величин1)). Если {ср,} - ортонормированный базис в пространстве Ж,
то для операторов А и В, принадлежащих коммутаторной алгебре
представления U(g),
A(fj = 2 afcy<pfc, 2! ctfe/12 < oo,
k k
BA(fi = 2 ak! | 2 | = 2 12 ctfe/Pjfe | ф( =
= 2(Мг;Фь 21 Pife I2 < oo,
i i
где |3 и a - соответственно определенные матрицы. Таким образом,
(ВАцр, (| ;) - (pa),-,-, -..........
фу) - Pifej "
(Лфу, q>k)=akj,
так что
(ВЛфу, ф,) = 2 (бфъ Ф<)Мфу, фА) =
fc
= 2(5Мфг, ЛГфй)(/ШфЬ ЛГфу) = (АВМф{, Мф{),
k
ибо М - унитарный оператор. Отсюда (BAq>;, ф,-) = (ЛВф;, фу) и,
следовательно,
АВ = ВА.
Таким образом, представление U (§') разлагается единственным образом в
прямой интеграл по неэквивалентным неприводимым подпредставлениям. Более
¦) (Кх (s), х (0) = (КМх (|i0s), Мх (цоО) =
>= (KMU (g) х (0, MU (g) х (s)) = (KU Ы Мх (О, U (gl) Мх (s)) = = (КМх
(t), Мх (s))
и, следовательно,
("2v (s/)> 2 м (**))=22 aA (** (si)-х ih))=
= 22 aih {КМх (/,), Mx (Sy)) = (км 2 М (<*)- ^ 2 V (Sj))-
13.2. Стационарные процессы на однородных пространствах 97
того, можно показать, что в этот интеграл входят только те представления
U^k)(g), для которых №)(&), feeX, содержит единичное представление группы
К (и притом точно один раз, так как более одного раза единичное
представление группы К содержаться не может).
Итак, мы имеем разложение
U(g) = J(r)t/W(g).
л
Как уже было отмечено, для всякого 1еЛ существует единственная
(положительно определенная) зональная сферическая функция и
у (s, /)= J ф(Л) (g) d(i (X), gt = s, л
где р(Я) -положительная мера на множестве Л всех неприводимых
представлений, порождающих зональные сферические функции. Сам процесс
x(t) допускает представление в виде
* (*) = S J ф(^ ^ dzi ^'
i А
где ф(r) (0 - обычная i-я сферическая функция, связанная с ф(>ь)Ч)> a Zi -
случайная функция множества, удовлетворяющая соотношению
Е (2, (Л,) Zj (Л2)) = в{? (Л, П Л2), Лр Л2 с= Л.
Эти результаты следуют из формул (12.1.2) и (12.1.3), если положить в них
х = x(t0) и g выбрать удовлетворяющим соотношению gt0 = t. В самом деле,
в этом случае
x(t) = U (g) х (t0) = J Uw(g)d(Exx) =
Л
= S / фгЛ* W dzi
i A
так как U (k\x(to) - x(t0),
98
13.3. Фильтрация и "склеивание"
В случае когда группа G компактна, множество Л счетно; поэтому, например,
для случая единичной сферы трехмерного пространства мы получаем
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed