Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хеннан Э. -> "Представления групп и прикладная теория вероятностей" -> 21

Представления групп и прикладная теория вероятностей - Хеннан Э.

Хеннан Э. Представления групп и прикладная теория вероятностей — М.: Мир, 1970. — 115 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppiprikladnayateoriya1970.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 38 >> Следующая

тензорами и, кроме того, одна и та же матрица А (и аналогично для В)
входит в произведение / раз. Вследствие этого при применении совокупности
преобразований из группы GL(q,R) указанные пространства не распадаются в
прямую сумму всех неприводимых компонент пространства тензоров ранга 2/,
соответствующих всевозможным разбиениям числа 2/ на целые слагаемые, а
только, как можно показать, в прямую сумму компонент, соответствующих
разбиениям вида
2/ = 2/, + 2/2+ ... +2/3; U>U>
причем каждая такая компонента входит в сумму лишь один раз. Каждое такое
неприводимое подпространство мы обозначим символом УглгДА), где индекс р
обозначает конкретное разбиение числа 2/ на четные слагаемые.
Заметим, что если заменить В на LBL', а А -на L AL (в этом случае
говорят, что В преобразуется коградиентно, а А контраградиентно), то
величина tr(АВ) не изменится. Далее, (tr(AB)V - элемент тензорного
произведения пространств К2/(А) и V2f(B)\ следовательно, его можно
представить в виде
{tr {АВ)У = S S Ct, /Z2f, р. (A) Z2f, Pf (В),
где Z2f, Р. (А) - вектор в неприводимом подпространстве пространства
тензоров ранга 2/, соответствующий разбиению рх числа 2/. Однако так как
левая часть
10.2. Собственные значения ковариационной матрицы 65
этого равенства инвариантна относительно одновременного
контраградиентного и соответственно коградиентного преобразования
тензоров Л и В, то сумма справа может содержать лишь члены, в которых
индексы pi и pj совпадают1). Таким образом,
{tr (AB)}f = 2 CpZ2fi р (Л) Z2fiP(B).
р
Если ограничиться ортогональными матрицами L, то Vsf, р(Л) и V2f'P(B)
распадутся дальше на инвариантные подпространства, скажем У2/, р, ИЛ) и
Vaf,Pli{B), причем опять же в сумме произведений элементов из этих
подпространств могут встретиться лишь члены с равными индексами / и /,
так что
{tr (АВ)У = s S Ср, ,Z2fl р, , (Л) Z2f, р,; (В).
I р
Если теперь мы проинтегрируем последнее выражение по O(q), то интеграл от
Z2fi р>i(HBH') будет равен нулю, за исключением того случая, когда этот
вектор принадлежит одномерному инвариантному подпространству, т. е. когда
он постоянен. Но при каждом р в сумму входит лишь одно слагаемое,
отвечающее такому подпространству2), так что окончательно
J {tr (АНВН')У ф (Н) = 2 CpZp (Л) Zp (В),
О (q) Р
•) Это следует из рассмотрения унитарной подгруппы группы GL(q,C),
относительно которой два тензорных пространства V2ft Pl (A), V2f>p^(B)
остаются неприводимыми. Если р,- = р}, то
в тензорном произведении существует инвариант, а именно {tr(.45)P; если
же р{фри то такого инварианта не может быть. Действительно, кратность
инварианта равна кратности единичного представления в разложении
рассматриваемого тензорного произведения, определяемой с помощью
интегрирования характера представления по (компактной) унитарной группе.
Но характер тензорного произведения равен произведению характеров,
которое при Ргфрj и соответственно контраградиентном и коградиентном
преобразовании тензоров А и В представляет собой скалярное произведение
неэквивалентных неприводимых характеров и потому равно нулю. Если же i <=
/, то это скалярное, произведение равно единице и, следовательно, здесь
существует единственный инвариант.
2) См. ниже раздел 13.1.
66 10.2. Собственные значения ковариационной матрицы
где р пробегает множество всех разбиений числа 2f вида
2/ = 2fj + 2f2 + ... +2fp, h>f2> ... >fp> 0,
a Cp, i для краткости заменено на Ср.
Как мы помним, элементы ZP(A) - это полиномы от элементов тензора А,
являющиеся векторами неприводимого подпространства тензоров ранга 2/
(соответствующего разбиению р), инвариантными относительно подгруппы
0(q). Для / от 1 до 4 их вид указан в работе Джеймса [3], а их построение
в общем случае обсуждается в работе Джеймса [4]. Тем самым проблему
нахождения распределения собственных значений ковариационной матрицы
можно считать решенной.
Читатель должен почувствовать, что рассуждения этого раздела родственны
тем, которые приводились в разделе 5.1. Мы обсудим здесь причины этого
родства на эвристическом уровне строгости, отчасти из-за того, что более
строгий анализ невозможен без использования фактов, о которых будет
говориться только позже. Отметим прежде всего, что все наши рассмотрения
могли бы ограничиться случаем, когда определители матрицы 2 и ЕЕ' равны
единице, так как эти определители зависят только от собственных значений
матриц. Унимодулярные матрицы образуют по-лупростую группу Ли SL(q, R), а
пространство всех положительно определенных унимодулярных матриц можно
рассматривать как пространство классов смежности группы SL(q,R) по
подгруппе 0+(q)-, в самом деле, группа SL(q,R), очевидно, порождает
транзитивные преобразования указанного пространства
A-+LAL', L е SL (q, R),
а стационарной подгруппой точки А = / служит группа 0+(q). Функция
у (А, В) = exp{-ctr(А_1Б)}, с>0, (2)
очевидно, является инвариантной функцией двух аргументов. Соответствующая
ей двояко инвариантная
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 38 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed