Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
{X, y] = i?(D (R) X, D (R) у). (3.100)
«со
Суммирование в (3.100) проводится по всем элементам R группы G. Величина (х, у], определенная соотношением (3.100), удовлетворяет всем требованиям для скалярного произведения. Кроме того, для любого элемента S и G
{D(S)x, D(S)y} = ^^(D(R)D(S)x, D(R)D(S) у) = ясо
= jyi{D(RS)x, D(RS)y). (3.101)
R(=.a
118
Глава 3. Представлений груПЛ
Но при фиксированном S, если R пробегает по всем элементам G, эти же значения принимает и RS, поэтому выражения в правых частях (3.100) и (3.101) тождественны и
{D (S) х, D (S) у] = {х, у]. (3.102)
Иначе говоря, операторы нашего представления унитарны относительно скалярного произведения {х, у] [но не по отношению к (х, у)].
Рассмотрим далее систему векторов и„ ортонормированных по отношению к исходному скалярному произведению, и вторую систему векторов V;, ортонормированную относительно нового скалярного произведения:
(u„ u;) = e/;={v,, V,]. (3.103)
Определим оператор Г, который переводит векторы и, в векторы v^:
V; = Гиг-. (3.104)
Так как
Тх=Тхіщ = хіТщ = хі\і,
ТО
{Гх, Гу] =х]у1 = {\, у). (3.105)
Рассмотрим теперь эквивалентное представление, определяемое формулой
D'(S)=T-1 D(S)T, (3.106)
и найдем, что
(Г_1Л(5)Гх, T~1D(S)Ty) = {D(S)Tx, D(S)Ty] [из (3.105)],
= {Гх, Гу] [из (3.102)], (3.107)
= (х, у) [снова из (3.105)].
Последнее равенство показывает, что определенное в (3.106) эквивалентное представление D'(G) унитарно. Поэтому для конечных
групп всегда можно так выбрать представление, чтобы оно было унитарным. Для бесконечных групп мы рассмотрим позднее вопрос
о том, какой смысл следует придавать суммированию по всем элементам группы, которое производится в (3.101).
§ 12. Гильбертово пространство
В § 9 настоящей главы мы определили унитарные пространства,
вводя в линейном векторном пространстве скалярное произведение.
После того как это сделано, можно определить расстояние | х—у | между двумя векторами (точками, функциями) из соотношения
X— у|2 —(х — у, х —у).
(3.108)
§ 13. Разложение представлений
119
Говорят, что последовательность векторов х„(/1=1, 2, .... оо) в L сходится к вектору х из L, если
lim |хя — х|=0, (3.109)
л-> СО
т. е. если для любого є>0 существует целое число п(г) такое, что | \т — х J < є для т > п (г).
Говорят, что последовательность векторов х„ сходится или
является фундаментальной последовательностью, если
lim |xm — x„|=0. (3.110)
т, Л->ОО
Пространство L называется полным, если всякая фундаментальная последовательность сходится к некоторому вектору в L, т. е. если из (3.110) вытекает существование вектора х в L, для которого выполняется (3.109).
Полное унитарное пространство называется гильбертовым пространством. Унитарные пространства конечной размерности
с необходимостью полны.
При рассмотрении бесконечномерных представлений мы будем ограничиваться представлениями линейными операторами в гильбертовом пространстве. При этом мы налагаем требование, чтобы эти линейные операторы были непрерывными, т. е. если
I Хя х | > 0,
то (3.111)
| А\п — Лх| ->0.
§ 13. Разложение представлений; приводимость; неприводимые представления
В § 7 настоящей главы мы обсудили вопрос о сложении представлений, Теперь же мы хотим рассмотреть обратный процесс. Если задано некоторое представление D, можно ли описать его с помощью более „простых" представлений? Грубый критерий простоты состоит в том, что эти представления должны иметь настолько малую размерность, насколько это возможно. Например, если все матрицы трехмерного представления D имеют вид
(3.112)
Ьі 1 оГ
Cl dt fl
_0 0 Si.
то их произведения будут иметь такой же вид, а именно:
а1а2 Ч- &1С2
с1а2 Ч- d\C<2
о
a\b2~\~ b\d2 сі&2 Ч- d\d2
0
а1е2 Ч- ^l/г Ч- е\ё2 С\е2 Ч- 2 Ч~ fl§2
gig*
(3.112а)
120
Глава 3. Представления групп
Мы видим, что матрицы в левом верхнем углу образуют двумерное представление:
ai
.*/ di_
(3.1126)
матрицы же в правом нижнем углу образуют одномерное представление:
[ft]. (3.112b)
Когда так происходит, мы говорим, что первоначальное представление приводимо.
Вид матриц представления может быть не таким простым, как в (3.112), но если можно найти преобразование базиса, которое все матрицы представления приводит к виду (эквивалентному) (3.112), мы говорим, что такое представление приводимо. В общем случае, если можно найти некоторый базис, в котором все матрицы D(R) /i-мерного представления можно привести одновременно к виду
D (R) =
D(I) R j A(R)
0 I D<2> (R) _
(3.113)
где D(1) (R) — матрицы my^m, D(2) (R) — матрицы (n — m) X (n — m), A(R)—прямоугольная матрица с m строками и (п—m) столбцами, а 0 означает матрицу, состоящую из (п—т) строк и т столбцов, у которой все элементы равны 0, мы скажем, что представление D (R) приводимо. Ясно, что произведение матриц
•?>(!> (Я) 0(1) (5) ] 0(1) (Я) A (S) + A (R) D<2> (5)'
D(RS)=D(R)D(S) =
0
0(2) (fl) 0(2) (5)
имеет тот же вид, что и (3.1 13), и поэтому матрицы
D^(RS) = D^(R)D^(S)
образуют /га-мерное представление, а матрицы
0(2) (Я5) = 0(2) (/?) 0(2) (5)
