Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 32

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 180 >> Следующая

D(RS) = D(R)D(S), (3.40)
D(R~l)=[D(R)]-1 (3.40а)
И
D (?)= 1. (3.406)
102
Глава 3. Представления групп
чение имеет вид
Линейное представление — это представление линейными операторами. За редким исключением, мы будем ограничиваться рассмотрением только таких линейных представлений. (Предполагается, что все представления, которые будут встречаться, линейны, если только противоположное особо не оговорено.)
Если в л-мерном пространстве L выбрать базис, то линейные операторы представления можно описывать с помощью представляющих их матриц. В этом случае мы получим гомоморфное отображение группы О в группу лХп матриц D(G), т. е. матричное представление группы О. Из (3.40), (3.40а) и (3.406) мы видим, что эти матрицы невырождены и что
[1 при / = Л
да=»»=)„ при ІФІ\ v.J=і......................»): (3.41)
Dy <М) = 2 D„ (Я) D,j(S) = D„ (R) D„ (S). (3.41a)
k
Если рассматривается несколько различных представлений, мы будем отличать их с помощью верхних индексов: D{f] (/?). Другое обозна-
, . Размерность (х-го представления обозначим г|^
ИЛИ [(X].
Если гомоморфное отображение группы G в D (О) приводит к изоморфизму, говорят, что такое представление „точно"; в этом случае порядок группы матриц D (О) равен порядку g группы О. В общем случае в группе G существует несколько элементов, которые отображаются в единичную матрицу D(E) = 1. Как мы уже видели в гл. 1, совокупность Ж элементов группы О, отображающихся в 1, образует в О инвариантную подгруппу. Группа матриц D (R) образует точное представление фактор-группы О/Ш. Отсюда следует, что если найдено представление для фактор-группы по некоторой инвариантной подгруппе, то мы автоматически получаем представление и для всей группы О. В этом представлении все элементы, принадлежащие одному смежному классу группы G по Ж, отображаются в одну и ту же матрицу.
§ 6. Эквивалентные представления; характеры
Если мы изменим базис в л-мерном пространстве L, то матрицы D(R) заменятся матрицами, которые получатся из D(R) трансформацией некоторой матрицей С [см. (3.34)]. Матрицы
D' (R) = CD(R)C~1 (3.42)
также задают представление группы О, которое эквивалентно представлению D(R).' Из наших предыдущих рассуждений ясно, что экви-
§ 6. Эквивалентные представления; характеры
103
валентные представления имеют одинаковую структуру, несмотря на то что матрицы выглядят по-разному.
Мы хотим найти величины, которые характеризуют внутренние свойства D(R), т. е. остаются инвариантными при изменении системы координат. Один такой инвариант найти легко, так как, взяв сумму диагональных элементов матрицы, мы получим
2 (CD (R) С-% = 2 CikDkl (R) С/71 = 2 bklDkl (R) = 2 Dkk (R).
I ikl kl k
(3.43)
Поэтому сумма диагональных элементов, или след, матрицы D(R) инвариантна относительно преобразования осей координат. Если мы рассматриваем представления групп, то след 2 DU(R) называется
I
характером элемента R в представлении D и обозначается
X (Я) = 2 Du (R). (3.44)
і
Мы видим, что эквивалентные представления имеют один и тот же набор характеров. Чтобы как-то выделить то или иное представление, мы будем пользоваться верхними значками. Таким образом, %W(R) (или [(х; /?]) означает характер R в представлении (х.
Если рассмотреть два сопряженных элемента 5 и R группы G (S — URU~l), то
D(S) = D(U)D(R)[D(U)rl.
Так как D(U)—допустимое преобразование координатных осей в нашем пространстве, мы видим, что
2 Вц (S) = 2 Du (Я)>
І І
ИЛИ
x(S) = x(«).
Иначе говоря, характеры сопряженных элементов в группе G всегда одинаковы. Следовательно, если мы описываем группу, * перечисляя характеры ее элементов в некотором данном представлении, то всем элементам, принадлежащим одному данному классу, приписывается одно и то же число (характер). Если для классов в группе О ввести обозначения К\, К2, ¦ ¦ ¦ и т. д., то представление можно будет опі-сать с помощью набора характеров Хі. •••. Xv> где v — число классов в группе О. Далее, если имеется несколько различных представлений, то характеры таких представлений мы будем различать по верхнему значку; например, есть характер класса /Сі в предста-
влении (X. Таким образом, каждое представление дает нам набор из v чисел, которые можно рассматривать как вектор в v-мерном пространстве, а именно: вектор с компонентами Хр • • •. Ху.
104
Глава 3. Представления групп
§ 7. Построение представлений. Сложение представлений
Прежде чем приступать к дальнейшему последовательному развитию теории, взглянем на рассматриваемую задачу с несколько иной точки зрения. Теория в том виде, как она излагалась до сих пор, следует с необходимостью, если исходить из теории абстрактных
групп. В физических же задачах мы отправляемся не от абстрактной группы, а от группы преобразований конфигурационного пространства некоторой физической системы. Например, группы симметрии,
о которых шла речь в предыдущей главе, были группами преобразований в трехмерном пространстве. Элементы такой группы сами образуют представление этой группы в трехмерном пространстве. Например, операцией С(9) служило преобразование
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed