Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 43

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 180 >> Следующая

Напомним определение функций ф^), задаваемых уравнением (3,66), Базисные функции v-ro неприводимого (унитарного) представления удовлетворяют уравнениям
Говорят, что функция фС'’) принадлежит I-й строке v-ro неприводимого представления. Попытаемся теперь найти условие, которому должна удовлетворять данная функция для того, чтобы она могла принадлежать /-й строке данного представления. Иначе говоря, если задана некоторая функция фМ, мы хотим сопоставить ей (tiv — 1) других функций таких, чтобы весь набор функций удовлетворял уравнению (3.66). Умнож їм (3.66) на (R) и просуммируем по всей группе:
ф=22 ф^.
V г-1
(3.179)
= 2 (R).
і
(3.66)
R j R
I ml nV
(3.180)
і
В частности, при m — l, |х = v
2^v)*(K)0^v> = X^v'6|(>
(3.181)
R
§ 18. Разложение функций
139
полагая 1 = 1, получаем
2 D(-% (R) О^У> = -А- фр. (3.182)
R V
Уравнение (3.182) является необходимым условием, которому должны удовлетворять функции ф^). Покажем также, что это условие достаточно, т. е. если функция фМ удовлетворяет уравнению
2 °її(Я) 0^(*v) = tJ- W (3.1 S3)
R V
то мы можем найти (nv— 1) «партнеров» таких, что вся совокупность функций будет удовлетворять уравнению (3.66). Чтобы определить набор функций, воспользуемся уравнением (3.180), где (x = v,
m — k — i
’If = (Я) (З-184)
R
В частности, при l—k мы вновь получаем (3.183). Таким образом, уравнение (3.184) позволяет удовлетворительным образом определить tiv функций ф(',) через функции фМ, если уравнение (3.183) для функций ф(^) выполняется. Покажем теперь, что функции ф^>, определяемые согласно уравнению (3.184), удовлетворяют уравнению (3.66), т. е. образуют базис v-ro неприводимого представления. Чтобы
доказать это, подставим (3.184) в правую часть (3.66):
2 Фf&jKS)=^22 Dn ^ DW W =
і R 1
= tS(S°?
= f0s%D^(S-'R)0s-,0Rt,<Z' =
R
= 7* S D<^ (R) °^’ = °sW- (3 •1 85)
R
Возвратимся теперь к равенству (3.179) и спросим себя, как найти ф^1, если функция ф нам задана. Иначе говоря, как разложить данную функцию в сумму функций, каждая из которых принадлежит определенной строке некоторого неприводимого представления? В (3.180) положим т = /:
2 * <*> = і- «iV (з-18б)
R
140
Глава 3. Представления групп
Таким образом, оператор
Pt) = Y^D^t{R)°R (3-187)
R
есть проекционный оператор, т. е.
= (3-188)
Итак, применяя оператор к равенству (3.179), поіучаем
njx_ Y4
g
(Я) Одф. (3.189)
По аналогии со сказанным выше мы утверждаем, что некоторая функция «принадлежит v-му неприводимому представлению», если она является суммой функций, принадлежащих различным строкам этого представления, т. е.
фМ = 2 ФГ- (3.190)
/-1
Просуммировав по I соотношение (3.186), получим
2 X(w* (Л) O^ilf = ?- 4^V (3.191)
r й
суммирование по I от 1 до nv [с учетом (3.190)] даст нам
2 (Я) 0^(v) = f- (З-192)
R **
Мы ВИДИМ, ЧТО
pW = ^2x(^(/?)Oft (3.193)
R
есть проекционный оператор, т. е.
(3.194)
Из (3.179) и (3.190) следует
^ = (3.195)
V
где
\J)(v) = P(vV (3.196)
§ 19. Представления прямых произведений
141
§ 19. Представления прямых произведений
В § 7 гл. 1 мы ввели понятие прямого произведения. Говорят, что группа G есть прямое произведение двух своих подгрупп Gl и 02 (G = G[ X G'i)> если все элементы коммутируют со всеми элементами 02, только единичный элемент принадлежит одновременно О; и 02 и всякий элемент группы G выражается в виде произведения элемента подгруппы Gj на элемент подгруппы G2. Несколько примеров прямых произведений было приведено в гл. 2. Если группу G можно представить в виде прямого произведения двух групп Gj и С2, то характеры неприводимых представлений группы G легко находятся по характерам неприводимых представлений групп Gj и 02. Пусть (/ = 1, ..., п ) и (J = 1, . .., пv) — системы функций, образующие базисы неприводимых представлений групп Gj и G2 соответственно. Тогда функций образуют
базис неприводимого представления группы G. Элементы и представления групп G[ и 02 мы отмечаем с помощью индексов 1 и 2. Тогда
Orf, = SWSi(/?1). (3-197)
0Л2Ф^=2ф№}(^2). (3-198)
°r,r,^P = | «v) (/?,) Цу). (Я2). (3.199)
(RJl2) = D%\ (/?,) (Я2). (3.200)
или сокращенно
дО* x v) (/?[/?2) = Dw (/?i) x D(v) (3.200a)
Чтобы найти характер RiR2, мы должны просуммировать диагональные элементы в равенстве (3.200):
Х0* х (R{R2) = (Я О X2V) (Л2). (3.201)
И гак, чтобы найти характеры неприводимых представлений прямого произведения групп G; и С2, мы берем произведения характеров О! и G2.
ГЛАВА 4
НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ
Теперь мы применим теоремы гл. 3 к точечным группам симметрии, выведенным в гл. 2. Мы рассмотрим различные методы отыскания неприводимых представлений этих групп. Одна из наших задач состоит в том, чтобы ознакомиться с практическим применением различных теорем о представлениях.
§ 1. Абелевы группы
Задача нахождения неприводимых представлений для абелевых групп проста. Ясно, что, поскольку число классов в абелевой группе равно порядку группы, все неприводимые представления должны быть одномерными. Но в таком случае матрица и характер совпадают, и мы имеем дело просто с умножением чисел. Далее, поскольку порядок любого элемента конечен, характеры всех элементов группы являются корнями из единицы. Например, если порядок элемента А равен 2, т. е.
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed