Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 33

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 180 >> Следующая

х'х = хj cos 9 — х2 sin 0,
х'2 = лг, sin 9 + *2 cos 9, (3.45)
хз = *з-
Операцией / было преобразование
х\-= — xv х'2 = — х2, х'3 — ~х3. (3.46)
Одна из наших задач состоит в том, чтобы научиться строить представления произвольно взятой группы. Другая — в том, чтобы понять, какая связь существует между теорией представлений и физикой. Предположим, что нам задана некоторая группа О преобразований (например, группы симметрии, которые мы рассматривали в предыдущей главе) или какое-то представление, вроде тех, что были рассмотрены ранее в этой главе. Имея преобразование Т, принадлежащее группе преобразований О [или группе преобразований, образующих матричное представление D(O)], новые представления можно строить следующим образом. Преобразование Т переводит х в х'\
х' = Тх.
Сопоставим преобразованию Т линейный оператор От, действующий на функции (лг). Если задана произвольная функция ф(я), то Действие оператора 0Г на ф состоит в том, что эта функция преобразуется в функцию
Огфг=іІ/,
такую, что
(х')== Oril>(х') = ф(лг), если х' = Тх. (3.47)
Иначе говоря, преобразованная функция принимает в точке х',
являющейся образом точки х, такое же значение, какое исходная функция ф принимала в точке х. То же можно сказать и так: точка Р
§ 7. Построение представлений
105
(с координатами х) при преобразовании Т переходит в точку Р' (с координатами х'), перенося вместе с собой то численное значение, которое функция ф имела в точке Р. Например, если Т есть преобразование х' = х -\-а (одно измерение!), то ф' (х) получается из ф(л:), если сдвинуть график функции ф(л:) на а единиц вправо; таким образом,
V (x) = ty(x — а).
Соотношение (3.47) можно переписать в виде
Огф(Гд:)=:ф(д:), (3.48)
или
Огф (х) = ф(г_1д:). (3.48а)
Если после преобразования Т мы проделаем преобразование 5 такое, что
x" = Sx',
то оператор Os, соответствующий этому преобразованию, определяется так же, как оператор Ог в (3.48); действуя на любую функцию ф, этот оператор переводит ее в новую функцию 05ф такую, что
Os4>(Sx') = <p(x').
Если ф есть функция ф', определенная в (3.47), то
05ф' (Sx') = ф' (*').
Оу^гФ (Sx') = ф (х), (3.49)
050гф (STx) = ф (лг).
С другой стороны,
х" = Sx' = STx,
и мы можем определить оператор Osr как такой оператор, для которого
05гф(*") = Ф(*)- (3.50)
Сравнивая с (3.49), мы видим, что
Osr = OsOr, (3.51)
откуда следует, что операторы удовлетворяют тем же соотношениям, что и элементы группы. Каждому элементу 5 соответствует оператор Os, действующий на функции ф. Элементу S-1 соответствует оператор
Oe-, =(Os)_I. (3.51а)
Если мы можем найти некоторое представление для операторов, то тем самым мы автоматически получаем представление группы О.
106
Глава 3. Представления групп
Чтобы посмотреть, как этот метод действует в простом случае, рассмотрим группу симметрии с двумя элементами Е и /; Е—тождественное преобразование х' = Ех = х, I—инверсия х' = Iх=—х (все в трехмерном пространстве!). Выберем какую-нибудь функ^ цию "ф(лг). Из (3.48) видим, что
Ф (х) = 0?ф (Ех) = 0?ф (х), ф (— *) = 0?ф (~Ех) = 0?ф (— х), т. е. 0Е—тождественный оператор. Аналогично ф (х) = 0,ф (1 х) = 0,ф (— х).
(3.52)
или
О/ф (х) = ф (— х).
(3.53)
(3.53а)
откуда следует, что оператор / меняет знак у аргумента х в функции ф. Равенства (3.52), (3.53) и (3.53а) означают, что функции 0?ф( + л:), 0;ф( + л) выражаются в виде линейных комбинаций функций ф(л:) и ф(—х):
0?ф (х) = ф (х) + 0 • ф (— х),
0Еф (— х) = 0 • ф (х) + ф (— х);
О/ф (лг) = 0 - ф (х) -f ф (— х),
О,ф(— лг) = ф(лг)-)-0 -ф(— х). Если ввести обозначения
ФС*) = /і. Ф i—x) = f2,
то равенства (3.54) запишутся в виде
і = /і “Ь 0 ' /г> ®if\ = 0 ¦ /і -+
®ЕІ2 = 0 ' /і “Ь /2. О if 2 = /1 -)- 0 1
(3.54)
/г> f 2-
(3.54а)
Операторы 0Е и 0; преобразуют функции /г в те же самые функции fi, можно записать, что
0*Л=2//М«) (/=1,2),
; = 1
откуда, сравнивая (3.55) с (3.54а), мы видим, что
0(Е) =
(3.55)
(3.56)
Легко проверить, что матрицы (3.56) образуют двумерное представление группы:
' 1 0' '0 г
0 1 ; D{i) = 1 °.
Р — Е и [D(/)]2 =
0 г О г ' 1 0'
-1 °. _ 1 0 0 1
= ?>(?).
§ 7. Построение представлений
10?
Предположим, что в качестве ф(.*0 выбрана четная функция
Ф(*) = Ф(— *)•
В этом случае мы получили бы только два соотношения
т. е. оба оператора переводят четную функцию ф в функцию, отличающуюся от нее лишь множителем (который к тому же равен 1). Поэтому имеется только одна базисная функция у7 = xj?, и наше представление одномерно:
D(I)(?)=(1), D(I)(/)=( 1), (3.57)
где (1) есть матрица 1X1. единственный элемент которой равен единице.
Если бы в качестве ф была выбрана нечетная функция
Ф(*) = —Ф(— х),
мы точно так же получили бы лишь два соотношения:
0?ф = ф, 07ф = —ф.
Здесь снова оба рассматриваемых оператора преобразуют функцию ф в функцию, отличающуюся от нее только численным множителем, поэтому имеется только одна базисная функция / = f и наше представление вновь одномерно:
D(2\E) = (1), D(2) (/) = (—1). (3.58)
Предположим теперь, что в качестве исходных выбраны две функции: четная функция fl и нечетная функция /2. В этом случае
Предыдущая << 1 .. 27 28 29 30 31 32 < 33 > 34 35 36 37 38 39 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed