Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
х'= —т^г-—г-г- х, то (х', х') = 1. (3.81)
V (х, х)
Один из способов задания скалярного произведения (х, у) состоит в том, чтобы записать его в виде функции координат х1 и yt
векторов х и у по отношению к некоторому базису. Если базис-
ными векторами являются векторы и;, то скалярное произведение определяется заданием чисел
uj). (3.82)
Из (3.78) мы видим, что
mtj=m)i¦ <3-83) Числа т.ц, определяемые соотношением (3.82), образуют матрицу m — метрическую матрицу. Согласно (3.83), имеем
т = ш+, (3.83а)
(т+)ч = т*г (3.84)
Матрица ш+ называется сопряженной с матрицей ш (или „эрмитово сопряженной”, или „транспонированной комплексно сопряженной"). Из (3.84) мы видим, что
(АВ)+= В+А+т (3.85)
§ 9. Унитарные пространства
115
Матрица А, совпадающая со своей сопряженной матрицей, называется самосопряженной или эрмитовой. В соответствии с (3.83а) метрическая матрица ш должна быть эрмитовой.
Разложим векторы х и у по базису ипользуясь соотношениями (3.13), (3.78), (3.78а), (3.786) и (3.82):
(х, y) = (*;U„ yjUj) = x*yjmtj = xfту, (3.86)
где х и у—матрицы, состоящие из одного столбца, и х+ — матрица, сопряженная с х. Величина х+шу, где ш — эрмитова матрица, называется эрмитовой квадратичной формой. Условие (3.78в) требует, чтобы (при у = х)
х+шх^-0. (3.87)
Квадратичные формы, удовлетворяющие такому условию, называются положительно определенными. Таким образом, скалярное произ-педение должно быть положительно определенной эрмитовой квадратичной формой относительно координат xt и yt. Говорят, что матрица ш такой формы есть также положительно определенная эрмитова матрица.
Два вектора х и у в унитарном пространстве ортогональны
(или перпендикулярны), если
(х, у) = 0. (3.88)
Если имеется некоторый базис \t в унитарном пространстве L, мы
всегда можем (образуя линейные комбинации векторов уг) построить новую систему базисных векторов и;, из которых все имеют единичную длину и взаимно перпендикулярны, т. е.
(u„ u;.) = 6l7. (3.89)
Базисные векторы ut образуют ортонормированный базис.
Задача. Постройте в двумерном пространстве с базисными векторами V! и v2 линейные комбинации Uj и и2, образующие ортонормиро-
I ванный базис.
Если базис ортонормирован, метрическая матрица (3.82) сводится просто к единичной матрице, и скалярное произведение (х, у) в (3.86) принимает простой вид
причем
(X, у)= 2*>/ = х+у,
І
(X, х)= 2
(3.90)
(3.91)
116
Г лава 3. Представления групп
Если мы, пользуясь формулой (3.14), перейдем or одного орго-нормированного базиса к другому базису и', то новый базис и' будет также ортонормированным, если
bij = K “/)=(««“*• и/)=в«вЛі=вї*в;*.
(3.92)
т. е. если
аа+ = 1 = а+а, а+ = а-', (3.93)
так как преобразование а имеет обратное преобразование а-1. Говорят, что матрица А унитарна, если
А+ = А-1. (3.94)
Таким образом, преобразование от одного ортонормированного базиса к другому совершается с помощью унитарной матрицы.
Задача. Докажите, что строки (столбцы) унитарной матрицы орто-нормированы.
§ 10. Операторы: сопряженный, самосопряженный, унитарный
Оператор Tf, сопряженный с линейным оператором Т, определяется с помощью соотношения
(Т’х, у) = (х, Tfу) для всех х, у. (3.95)
Воспользовавшись (3.31) и (3.90), найдем, что в ортонормированном базисе
(Т’х, у)=Т*]х']Уі = x)f]iyh (х, т*у)=х)т}1у1
И, поскольку Xj и yt произвольны, из (3.95) следует
(Т’+);(. = TjU или т+ = т\ (3.96)
т. е. матрица, представляющая сопряженный оператор Tf в ортонормированном базисе, является комплексно сопряженной транспонированной по отношению к матрице, представляющей оператор Т.
Задача. Докажите, что матрица, представляющая сопряженный оператор
Tf
относительно базиса с метрической матрицей т, равна т_1Тт.
§11. Унитарные представления
117
Оператор является самосопряженным, или эрмитовым, если он совпадает со своим сопряженным
(7х, у) = (х, Ту) для всех х, у,
или
Tf = T. (3.97)
В ортонормированной системе координат эрмитов оператор представляется эрмитовой матрицей.
Оператор U называется унитарным оператором, если
(Ux, Uу) = (х, у) для всех х, у, (3.98)
т. е. если скалярное произведение образов векторов x'=Ux и
y'=Uy такое же, как и скалярное произведение х и у для всех
векторов х и у. Оператор U относительно ортонормированного базиса представляется унитарной матрицей
U+U = UUf = 1. (3.99)
§ 11. Унитарные представления
Если операторы представления группы G унитарны (или если матрицы представления—унитарные матрицы), представление называется унитарным представлением.
В § 6 настоящей главы мы видели, что существует бесконечно много представлений группы G, эквивалентных любому заданному представлению D (G). Поскольку унитарные матрицы обладают особенно полезными свойствами (см., например, задачу в конце § 9 настоящей главы), представляется важным выяснить, эквивалентно ли данное представление D(G) некоторому унитарному представлению. В общем случае это неверно. Но можно доказать, что для конечных групп G всякое представление эквивалентно унитарному представлению.
Для произвольной пары векторов х, у можно построить выражение
