Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
задают (п — /п)-мерное представление.
Этот процесс можно продолжить следующим образом. Преобразуем базис в /га-мерном пространстве D(l) и попытаемся привести все матрицы D(1)(/?) к виду, указанному в (3.113), т. е.
0U> (Я) =
D(3> R 0
A'(R) ¦ (Я).
§ 13 Разложение представлений
121
где матрица D(3> р-мерна, а матрица D(4) (m — /?)-мерна, и ту же процедуру применим и к матрицам D(2> (/?) Очевидно, что этот процесс заканчивается, после чего мы получаем все матрицы представления D в виде
D(I> (/?) ,
D<2> (R) і Л'2) (Я)
____ _ I _
D(3> (/?) Л<з) (/?)
D(/?) =
О і D(ft) (R)
(З 114)
где k наборов матриц D(I> (/?) ... D(i) (/?) ... D(ft> (/?) образуют неприводимые представления размерностей ml = 2 mij •
Внутренний критерий приводимости можно сформулировать так. В случае (3 112) рассмотрим те векторы, которые принадлежат двумерному подпространству первых двух компонент Матрица (3 112), примененная к векторам х, у которых лг3 = 0, дает вектор
' *1 ' " axj -j- bx2
с d / *2 = cx| —j— dx2
-0 0 g. . 0 . 0
снова принадлежащий подпространству лг3 = 0 Иначе говоря, это двумерное подпространство инвариантно относительно всех преобразований группы С другой стороны, векторы, у которых лг1 = лг2=0, преобразуются в векторы
'a b e ‘ 0 ‘ ' ex3 ¦
с d f 0 = fx 3
-0 0 g. -*3- - gx3-
в силу чего (дополнительное) одномерное пространство третьей компоненты неинвариантно.
122
Глава 3. Представления групп
В случае (3.113) подпространство первых m компонент инвариантно:
“ D(I> (R) j A(R) ~ X -D(1> (R)x~
0 j D(2> (R) _ 0 0
в то время как дополнительное (п ¦ инвариантно:
/га)-мерное подпространство не-
~D^(R) \ A(R) ~ ~ 0 ~ " A(R)(x) ~
0 j D(2> (R) _ _ x _ _ D(2> (R)\_
точно так же в случав (3.114) /«[-мерное подпространство первых щ компонент инвариантно.
В общем случае, если существует некоторое подпространство размерности т < п, которое инвариантно относительно всех преобразований группы, представление приводимо. В этом подпространстве можно выбрать т новых базисных функций фь . . ., <рт и дополнить эту систему с помощью (п — т) других базисных функций фт+1, ..., <р„ так, чтобы получить п базисных функций для всего /t-мерного пространства. В таком базисе матрицы представления будут иметь вид матриц (3.112).
Представление неприводимо, если не существует собственного инвариантного подпространства.
Мы скажем, что представление вполне приводимо, если можно найти базис, в котором все матрицы представления имеют вид (3.113), но с А (R) = 0, т. е.
D<i> (R) О
О D<2) (R)
D(R) =
(3.115)
В этом случае и /га-мерное подпространство D(I> и (п — /га)-мерное подпространство D(2> инвариантны. Иначе говоря, базисные функции ф!.......фт преобразуются между собой, а базисные функции
Фт+1> •••• Фя преобразуются между собой, так что преобразования группы не связывают между собой эти две системы функций. Пространство L разлагается в прямую сумму пространств Х.(1) и 2.(2)
а представление D есть сумма представлений D(1) и D(2)
D^D'D + D'2*. (3.116)
Этот процесс в точности обратен тому процессу сложения представлений, которым мы воспользовались в § 7 настоящей главы. Представим Себе на минуту, что мы рассматриваем вполне приводимые представления. В таком случае представления D(1) и D(2> можно
§ 13 Разложение представлений
123
подвергнуть изучению, чтобы выяснить, не являются ли они в свою очередь приводимыми. Заметим, что D(1> и D<2> можно рассматривать в отдельности, поскольку соответствующие подпространства можно рассматривать независимо друг от друга Таким образом, преобразование координат вида
С =
Сг
О
m
m
действует только в подпространстве представления D(I* и оставляет неизменными матрицы D(2>. Продолжая эту процедуру, мы сможем в конце концов представить D в виде
D (R) —
' D(!> (R) ' О
I
О D(2) (R)
О
О
О
О
О
Dk (R)
(3 117)
т е
D = D(1> + D(2) ... +D(ft),
где все D(v> — неприводимые представления. В таком случае мы скажем, что D разлагается в прямую сумму
D(1>-j- ... -f
Далее, среди неприводимых представлений D(v) может быть несколько представлений, эквивалентных друг другу (разумеется, для этого они должны иметь одинаковые размерности) Эквивалентные неприводимые представления различными не считаются, и для их обозначения можно использовать один и тот же символ. Таким образом, некоторое неприводимое представление D(v> может входить в представление D несколько раз Символически мы выражаем это обстоятельство в виде
D = axD+ ... + arDM = 2 avD(v\ (З 118)
где av
целые положительные числа
Большей частью мы будем рассматривать вполне приводимые представления и термин приводимое будем использовать в смысле разложимое в прямую сумму представлений.
124
Глава 3. Представления групп
Если матрицы представления унитарны (унитарное представление), то из приводимости следует полная приводимость: если матрицы D{R) в (3.113) унитарны, то A(R) = 0. В § 11 настоящей главы мы показали, что для конечных групп представления всегда можно выбрать так, чтобы они были унитарными, поэтому в случае конечных групп приводимые представления всегда разлагаются в сумму представлений.
