Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Or/i==/i> ==
Of-f Of—f (359)
ulJ I —/1- ulJ 2— / 2-
Можно принять явно извращенную точку зрения и считать, что функции /, и /2 преобразуются в линейные комбинации функций /, и /2. В этом случае мы сказали бы, что получено двумерное представление:
D<3)(?) =
1 0 0 1
D{3\l)
1 0 0 —1
(3.60)
Сравнивая с двумя предыдущими случаями, мы видим, что на самом деле каждая из функций /, и /2 в отдельности переходит в функции вида a/j и а/2 (а—численный множитель) соответственно. До сих пор мы лишь рассматривали совместно две функции /, и /2, каждая
108
Глава 3. Представления групп
из которых преобразуется в функцию, отличающуюся от исходной лишь численным множителем. Матрицы D<3) можно записать в виде
Чтобы рассмотреть крайние случаи, предположим, что мы выбрали три четные функции ф], ф2, ф3, которые линейно независимы (например, х2, у2, г2). В этом случае мы получили бы трехмерное представление D такое, что
~ 1 0 о" -Dc) 0 0
D(E) = 0 1 0 = ?)(/) = 0 Dm 0
0 0 1 0 0 Dm
Точно так же, если бы мы выбрали в качестве ф2 четную функцию, а в качестве ф, и ф3 — нечетные функции, мы получили бы представление
1 0 o" " D(2) (E) 0 0
D(E) = 0 1 0 = 0 D(I) (E) 0
0 0 1 _ 0 0 Dm(E)_
" —1 0 0 ' ¦ D{2) (/) 0 0
D (I) = 0 1 0 = 0 D(I) (/) 0
0 0 -1 _ 0 0 D(2) (/) _
Чтобы рассмотреть последний пример, обратимся снова к (3,56). Если бы мы выбрали за исходные линейно независимые функции ф И ф (ни одна из которых не является только четной или только нечетной), мы бы получили набор из четырех функций:
/і = Ф(*). /2 = Ф(— X), /з = ф(ДГ), /4 = ф(— X)
и, таким образом, нашли четырехмерное представление D':
~ 1 0 0 0' ”0 1 0 0
D'(E) = 0 1 0 0 D'(/) = 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 1
_0 0 0 1_ _0 0 1 0
Процесс, которым мы пользовались в этих трех примерах, носит название сложения представлений. В каждом из рассмотренных случаев матрицы состоят из матриц меньшего порядка, расположенных
§ 7. Построение представлений
109
вдоль главной диагонали и окаймленных нулями, причем разбиение большой матрицы на меньшие имеет одинаковый вид для всех матриц В общем случае, если имеется один набор функций Д, /„ таких, что
П
0Rft = 2 f]D{]} (R) (1= 1....п) (3.65)
7 — 1
(этим определяется представление D^\G)), и второй набор функций /я + 1* > fn + m> не ЯВЛЯЮЩИХСЯ ЛИНеЙНЫМИ КОмбИНЭЦИЯМИ фуНКЦИЙ
Д, .. ., /„ и таких, что
п + т
0Rft= 2 fjDfi(R) (l = n+1................п + т), (3.65а)
;=я + 1
то (3 65) и (3 65а) можно рассматривать как линейные преобразования в объединенном наборе, состоящем из (п-\-'т) функций. Соотношение (3 65), записанное как преобразование совокупности всех функций при 1 = 1, выглядело бы так:
о„/, =D";iR)fl+K;(R)f, l ...
••• +48 (Я)/.+о-/„,+ ... +о
Используя в качестве базиса полный набор функций, мы получили бы представление D (R) размерности (п~\~ т) такое, что
D(R)
D{l)(R)
Dm(R)
строк,
т
п т
столбцов
откуда
D = Di1) + D(2).
В соответствии с такой терминологией (3.61) означает
D(3)= D(2),
(З 62) означает
D = D(1) -j- D(1) + D(1) = 3D(1),
a (3 63) означает
D = D(2) -f D(1) + D(2) = D(1) -f 2 D(2).
Очевидно, что перестановка слагаемых в суммах представлений допустима, так как она сводится к перенумерации базисных функций.
110
Глава 3. Представления групп
Теперь должен быть ясен и общий метод построения представлений. Мы начинаем с того, что выбираем произвольную систему линейно независимых функций и к каждой из этих функций применяем все операторы 0Rl соответствующие элементам R группы преобразований О. В результате мы получаем набор функций, которые (хотя они и могут быть линейно зависимыми) можно линейно выразить через п из них: ф,, ф2, ф„. Если теперь применить к таким
функциям какой угодно оператор 0R, то получающуюся при этом функцию можно представить в виде линейной комбинации тех же самых п функций:
2 %iDnv (R) її-l
(V= 1.......п).
(3.66)
В этом представлении элементу R группы преобразований соответствует матрица D(R). Нужно еще показать, что мы получили именно гомоморфизм О в D(G). Из (3.51) и (3.66) имеем
Но
откуда
или
— 0S0*4>V — 2 Ф'ц^ -у (R) ¦¦
ц-1
п
= 2 Ф0о0(1(5)о^(/?) =
ц, а-1 п
= 2Фо
г = 1
2 D^(S)D^(R)
.И-1
°S А = 2 Фа0.™ (SR)’
0 = 1
D0V(SR)='2 D^&D^iR),
ц-1
D (SR) = D(S)D(R).
(3.67)
§ 8. Инвариантность функций и операторов. Классификация собственных функций
Изучим теперь более подробно операторы 0R, которые были введены нами ранее. Оператор 0R, будучи примененным к функции ф(лт), переводит ее в функцию, названную нами 0Лф, такую, что
Одф(л:/) = ф(л:), если x' = Rx, (3.47)
т. е.
Одф (Rx) = ф (х) для всех х,
или
ОяФ(*)--Ф(Я~‘*) для всех х. (3.68)
§ 8. Инвариантность функций и операторов
111
Последняя форма записи наиболее полезна; 0R, действуя на ф, приводит к замене х на R~lx. Может представиться случай, когда Ойф совпадает с ф, т. е,
0Лф(*) = ф(л:), (3.69)
так что
ф(лг)г==ф(/?_!л:), или ф(/?л:) = і|)(л:), (3.69а)
и функция ф в точке Rx, являющейся образом точки х при преобразовании R, принимает то же значение, что и в точке х. В этом
