Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 28

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 180 >> Следующая

N | j|| - - - 1 s ® Й ® ¦« ! ® «1 J J S || 1 Я S5?I1
О ? ? ? ? ? e e e SSSSSSfQ!— S К g CN CN ^ ^ ^ p ^ S ?; S S CO ^ S го со со CO igS_S_S_S_S_u3 rairoiro,co'0'o^-^-^-t§Js_S^S_S_S^^ Sro^t- g g g ^ ^ со со со со co
о 1 - si-?U-!l -^gl II !| s s1 ! і | si T si,^ i^.g'3 ДІ^1^ 1| 1' Jl Iі lCMCMiCMiCM(^l(^|ggg|l - ra no i<oncl ^t-^t-i^t-i^'^.i^t-i^t-i
1 1 1 2 m 1 2 2 m 222 2 m m 2jm 3 3 3 6 3m 32 2 2 4 222 4 4 2/m 4 2 mm 4 222
о 1 1 2 m 2/m 2/m 2/m 222 2mm 2mm mmm mmm mmm 3 32 3m 6 6m2 6m2 6m2 4 4 42 42 4/m 4/m 4/m 4 mm 4 mm 42 m 42 m
90
Глава 2. Группы симметрии
Мы нашли 58 новых групп, что вместе с 32 точечными группами дает нам 90 „групп магнитной симметрии11. В основу нашего рассмотрения было положено распределение плотности тока j, но мы могли бы с равным основанием рассматривать и распределение намагниченности ц. (Единственная особенность, которую следует иметь в виду, состоит в том, что ц,—аксиальный вектор, a j—полярный вектор.) Группы магнитной симметрии (и основанные на них пространственные группы) находят применение в анализе антиферромагнитных структур.
Эти группы допускают обобщения несколькими способами. Например, можно задать п различных независимых признаков, принимающих два значения, и ввести п операторов Rh таких, что Rt изменяет значение /-го признака, причем все Rt коммутируют как друг с другом, так и со всеми геометрическими операциями. Мы можем также рассматривать и признак, принимающий п значений (многоцветные группы) и ввести оператор R, такой, что R" = Е (R коммутирует со всеми геометрическими операциями), потребовав, чтобы элементы вида Rm в группу не входили. Обширную работу в этой области проделали кристаллографы русской школы.
Задачи. 1. Выведите всс возможные точечные группы симметрии в двух измерениях.
2. Выведите все возможные двуцветные точечные группы в двух измерениях.
ГЛАВА З
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ГРУПП
Во введении мы кратко остановились на том, каким образом симметрия гамильтониана физической системы приводит к классификации собственных функций (собственных векторов) этой системы. В настоящей главе мы вновь обратимся к этой задаче и разовьем математический аппарат для ее полною решения.
Наше интуитивное представление о векторном пространстве основано на наглядном образе направленных прямых в плоскости или в трехмерном пространстве. Векторы в таком пространстве описывают, задавая их величину и направление. Векторы можно умножать на любое вещественное число. Проведя любые два неколлинеарных вектора на плоскости (или любые три некопланарных вектора в трехмерном пространстве), мы вводим координатные оси в таком пространстве. В этом случае векторы можно описывать с помощью координат относительно некоторых выбранных осей.
Для приложений в физике наше интуитивное представление требуется обобщить. Рассмотрим множество объектов х, у, ..., элементы которого можно „умножать" на произвольное комплексное число а или „складывать" друг с другом, получая при этом 'элементы того же самого множества. Такое множество называется линейным векторным пространством L.
Если х и у принадлежат L, то
также принадлежат L. „Умножение11 и „сложение11 должны удовлетворять следующим условиям:
§ 1. Линейные векторные пространства
ах и х + у = у + х
(3.1)
(а 4- р) х = ах + рх, (ар)х = афх),
1х = х, а(х + у) = ах + ау.
(3.2)
(3.2а)
(3.26)
(3.2в)
92
Глава 3. Представления групп
Пространство L содержит нулевой вектор (нуль-вектор) 0 такой, что х + 0 = х для всех х. (3.2 г)
Таким образом линейное векторное пространство L образует абелеву группу относительно операции „сложения", и его элементы можно умножать на комплексные числа.
Если мы ограничимся вещественными множителями, то получим вещественное пространство. Примерами таких пространств служат описанные ранее плоскость и трехмерное пространство.
Исходя из интуитивных представлений, можно говорить о векторах на комплексной плоскости, исходящих из начала координат.
Умножение вектора х на комплексное число а увеличивает длину вектора х в |а| раз и поворачивает его на угол, равный аргументу числа а.
Множество всех матриц п X п образует линейное векторное пространство. Сумма двух матриц х и у (с матричными элементами х1к и у/А) есть матрица х + у (с матричными элементами xlk-\-yik).
Матрица ах имеет матричные элементы ах1к. Все элементы нулевой матрицы равны нулю.
Бесконечные последовательности
\ = (хи х2< ...)==(*,) (/=1........оо), (3.3)
образуют линейное векторное пространство, причем
х +У = (*/-+• У/)> ах = (ал:;).
Множество всех многочленов относительно „переменной" ? вида
x = *o+*i?. (3.4)
где х0, хг—комплексные числа, образуют линейное векторное пространство, в котором
ах = ал:0 + алг^,
х + У = С*о “Ь Уо) “Ь (Л:1 “Ь Уі) ?•
Непосредственным обобщением последнего примера служит векторное пространство всех многочленов степени, меньшей или рав-
ной п относительно переменной ?:
х = хо “Ь х4а~\~ ••• ~\~хЛп= 2 хт* • (3.5)
г=О
В частности, п можно устремить к бесконечности. При этом получится векторное пространство многочленов вида
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed