Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 30

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 180 >> Следующая

V х>ь ик)
2j, и к) е 1 jk a
так что координатами х относительно этого базиса служат числа Х;ь/ аик).
Многочлены 1 и ? образуют систему базисных векторов для двумерного пространства, определяемого соотношением (3.4). Вектор х
96
Глава 3. Представления групп
из этого соотношения относительно указанного базиса имеет координаты х0, хх.
Координатами многочлена х в формуле (3.6) относительно базиса, образуемого линейно независимыми многочленами 1, ?, ?2, . . служат элементы бесконечной последовательности (х0, хь . ¦ .)•
Задача. Найдите систему базисных векторов для пространств, заданных соотношениями (3.7) — (3.10), и укажите координаты произвольного вектора относительно найденного базиса.
Следует отчетливо представлять себе, что базисные векторы задаются неоднозначно и на самом деле их можно выбрать бесконечным числом способов. На плоскости любые два неколлинеарных вектора образуют базис. В пространстве многочленов вида х0-\-х?,, кроме базиса (1, ?), можно выбрать базис (1-)- С, 1 —9 либо (1 —J— «С, 1—а?), где а ф 0, либо же вообще (а-)-р?, "Y + ^S). если только uI = a-|-p? и u2 = 'YH-6C линейно независимы (аб — p-у ф 0).
Один и тот же вектор х будет иметь различные координаты относительно различных систем базисных векторов. Сам вектор х имеет внутренний смысл, в то время как описание его с помощью координат изменяется при переходе к другим осям координат. Например, многочлен
х = х0+х& = -л'° у;ії (1 + qQ + ¦ (1 -о0 ==
= ¦(“¦+ й + ТЗГ^ЇГ-'(V-+'ю
имеет относительно трех систем координат, о которых упоминалось выше, координаты
/•„ ~\ + -«0—-«і/а\ / — JClY -Via — ^
<*0. xi)< [ 2 ’ 2 ]’ \ об— Py ' a6 — Py )'
Коль скоро найден один какой-нибудь базис Ui, •• •, u„, мы легко можем получить все возможные системы базисных векторов. Каждый вектор выражается в виде линейной комбинации векторов Uj, . . ., u„ [см. (3.13)]. Например, п векторов uj......и'п можно записать в виде
П
= 2 a/;U/= j (І = I, .... п), (3.14)
j-1
где при выполнении последнего преобразования нами введено соглашение о суммировании по повторяющимся индексам. Векторы и'. образуют базис, если они линейно независимы, что будет в том и только в том случае, если определитель матрицы коэффициентов а^ отличен
§ 3, Базисные векторы
97
от нуля. Коэффициенты образуют матрицу а. Новые векторы \х[ в равенстве (3.14) образуют базис, если матрица а неособенная (определитель Ф0). Все возможные базисы в Ln получаются из некоторого одного базиса, если матрица а пробегает все множество неособенных матриц л-го порядка.
Если от базиса, построенного из векторов и^, перейти к базису, образованному векторами и', то координаты х1 фиксированного вектора х изменятся и станут равными х'.:
где а—матрица, транспонированная по отношению к матрице а, т. е.
Если векторы ut- (и,) и совокупность координат х^х'^ рассматривать как матрицы с п строками и одним столбцом, соотношения (3.14) и
(3.16) можно записать в матричной форме:
Матрица, транспонированная по отношению к произведению матриц, задается формулой
т. е. оказывается равной произведению транспонированных матриц, взятых в обратном порядке. Матрицей, транспонированной по отношению к матрице х, состоящей из одного столбца, является матрица х, имеющая одну строку и п столбцов:
Х = ЛГ;11; = х'р\. Воспользовавшись равенством (3.14), получим
(3.15)
а так как векторы uj линейно независимы, то
(3.16)
Л — аи-
(3.17)
(3.14а)
(3.16а)
ab = Ьа,
(3.18)
Х“(^.........*»)•
В этих обозначениях (3.15) можно переписать в виде
х = хи = х'и'.
Из соотношения (3.16а) получаем
х' = а-1х.
(3.166)
(3.15а)
98
Глава 3. Представления групп
Правильность формулы (3.15) можно легко проверить: х' = ха-1, u' = au,
откуда
х'и' — ха_1аи = хи.
Задачи. 1. Докажите, что многочлены
« = 0,1,2,... (3.19)
образуют базис в векторном пространстве всех многочленов [формула (3.6)]. Найдите коэффициенты разложения многочленов /' по базисным функциям /п — Іп.
2. То же проделайте для многочленов
г[(С2-1)л]. (3.20)
§ 4. Отображения; линейные операторы; матричные представления; эквивалентность
Отображение векторного пространства L на себя можно определить так же, как в гл. 1. Отображение Т каждому вектору х ставит в соответствие некоторый новый вектор у, принадлежащий L,
у = Тх. (3.21)
Если отображение Т взаимно однозначно, то существует обратное отображение Т~1 такое, что
х = 7’-1у. (3.22)
Отображение Т можно рассматривать как оператор, который действует на векторы х пространства L и преобразует их в векторы у, также принадлежащие пространству L. Если это отображение взаимно однозначно, то существует обратный оператор Т~1. Для каждого вектора х пространства L
Т~1Тх = 7Т-1х = х,
т. е.
Т~1Т = ТТ-1 = 1, (3.23)
где оператор 1 есть тождественный оператор, оставляющий все векторы неизменными.
Говорят, что Т — линейный оператор, если
r(x + z) = rx+rz, (3.24)
7’(ах) = а7’х. (3.24а)
§ 4. Отображения; линейные операторы
99
Следует подчеркнуть, что в определении операторов не указывается никакой системы координат. Поэтому операторы имеют внутренний смысл.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed