Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Хамермеш М. -> "Теория групп и ее применение к физическим проблемам" -> 39

Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.

Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам — М.: Мир, 1966. — 587 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyagrupieeprimeneniya1966.pdf
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 180 >> Следующая

§ 14. Леммы Шура
Теперь мы приступаем к общим теоремам. Цель этих теорем состоит в том, чтобы найти некоторые простые критерии неприводимости представления и указать некоторые ограничения, налагаемые на число неэквивалентных представлений. Мы начнем с того, что докажем две фундаментальные леммы (леммы Шура).
Предположим, что имеется набор, состоящий из п функций i|)v(v=l, ..., п), служащих базисом некоторого представления группы G. Тогда для всех R из G
0*Ф„ = 2 Фц *>,«(*)• (3.119)
и
Если это представление приводимо, то, по определению, мы можем найти m функций <рг, не обращающихся тождественно в нуль (m < п), которые будут линейными комбинациями функций i|)v,
Фг = 2ФР «pi (3.120)
Р
таких, что
°/гф/=Зф*^/(Л) (3.121)
k
для всех R из G. Пользуясь формулами (3.119)—(3.121), получаем
0R% = 2 0R%apl = 2 Фа °сР (Я) ярі —
Р (У, Р
= 2ф*Д«(Л)=2фово*0«(Л). (3122)
к а, к
Таким образом,
2 %Dap (R)apl= 2 Ф aaakD'k[(R). (3.123)
а, р н а, к
Так как фа линейно независимы,
2Я0р(Я)яр, = 2яаЛ(Я). (3.124)
р *
или
D(R)A — AD'(R) (3.125)
для всех R из О. Таким образом, если D приводимо, мы можем
найти ненулевую матрицу А такую, что равенство (3.125) будет
выполняться при всех R из О.
§ 14. Леммы Шура
125
Наоборот, если справедливо (3.125), т. е. если существует матрица А такая, что
D(R)A = AD'(R), где D' (R) — совокупность матриц порядка т < п, то
р к Умножим на фа и просуммируем
2 Фа D (R) a =IiO (ф а ) = 2 Фа«аА °ы (^).
р,а р ак
Таким образом, т функций
Ф/ = 2 ФрДр/ р
образуют базис представления D', и D приводимо. Если предположить, что представление D неприводимо, то единственный способ избежать противоречия состоит в том, чтобы положить А = 0, т. е. сделать все элементы А равными нулю. Итак, наш результат можно сформулировать следующим образом:
Лемма I. Если D и D' — два неприводимых представления группы G, имеющие различные размерности, то из того, что матрица А удовлетворяет условию
D(R)A = AD'(R) (3.125)
для всех R из G, следует А = 0.
Рассмотрим далее частный случай, когда п—т. Если выполняется (3.125), мы повторяем те же самые рассуждения и получаем
2 °R (Фрвр,) = 2 (Фааа*) (Я). к=1...............п.
Здесь п функций 2 Фрар/ должны быть линейно независимыми, иначе D р
было бы приводимым. Но это означает, что определитель матрицы А не равен нулю, и матрица А имеет обратную матрицу. Поэтому из (3.125) следует, что
D(R) = AD'(R)A-\
и эти два представления эквивалентны. Если же D и D' неприводимы и неэквивалентны, то единственный способ избежать противо-
126
Глава 3. Представления групп
речия состоит в том, чтобы положить А = 0. Поэтому для этого частного случая наш результат можно сформулировать так:
Лемма 1а. Если D и D'—неприводимые представления группы G, имеющие одинаковую размерность, и если матрица А удовлетворяет условию
D(R)A = AD'(R) (3.125)
при всех R из G, то либо D и D' эквивалентны, либо А = 0.
Наконец, рассмотрим какое-нибудь одно неприводимое представление группы G.
Лемма II. Если матрицы D(R) образуют неприводимое представление группы G и если
AD(R) = D(R)A (3.126)
для всех R из G, то А = const • 1.
Иначе говоря, если некоторая матрица коммутирует со всеми матрицами неприводимого представления, то такая матрица должна быть кратна единичной матрице.
Рассмотрим уравнение
А\ = Хх, (3.127)
где х — некоторый вектор в пространстве. Решения этого уравнения дают собственные значения и собственные векторы матрицы А. Если х — собственный вектор, принадлежащий собственному значению X, то, пользуясь (3,126), мы найдем, что D(R)\ есть также собственный вектор, принадлежащий X. Таким образом, подпространство
собственных векторов матрицы А, принадлежащих данному X, инвариантно относительно всех преобразований группы G, Но это означало бы, что D приводимо, если только рассматриваемое подпространство не есть все пространство или нулевой вектор. Из первой возможности следует, что А имеет только одно собственное значение А,, т. е. А = Х-\, из второй — что А = 0.
Эта лемма весьма удобна как критерий неприводимости. Если задано некоторое представление D, мы пытаемся найти матрицу А такую, чтобы выполнялось соотношение (3.126). Если можно показать, что А кратна единичной матрице, то D неприводимо.
Задача. Воспользуйтесь леммой II для того, чтобы доказать, что все неприводимые представления абелевой группы одномерны.
§ 15. Соотношения ортогональности
127
§ 15. Соотношения ортогональности
Теперь мы воспользуемся этими леммами, чтобы доказать наши общие теоремы. Предположим, что в лемме II нам задано неприводимое представление размерности п группы G, порядок которой равен g. Образуем матрицу
Л = 2^ (•$)*?> М- (3.128)
s
где X—произвольная матрица, а сумма 2 берется по всем эле-
s'
ментам группы G. Мы утверждаем, что А удовлетворяет условиям леммы II, так как
D(R)A = ^D(R)D (S) XD (S'1) =
s
= 2 D (Я) D (5) XD (S~l) D (/Г1) • D (R) — s
= [SD(/?5)^D({/?5]_I)jD(/?). (3,129)
Заметим теперь, что когда 5 пробегает при фиксированном R все элементы группы, произведение RS (вспомните групповую таблицу) также пробегает все элементы группы, и, следовательно,
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed