Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
случае мы говорим, что функция ф инвариантна относительно опе-
ратора 0R или, более кратко, относительно преобразования R. Например, функция ф(х) = Xі-)- у2 инвариантна относительно инверсии; функция ф=л:24-У2 инвариантна относительно вращений. Чтобы проверить, инвариантна ли некоторая функция, мы заменяем аргументы х на их образы Rx и смотрим, получается ли при этом снова то же выражение.
Мы уже отмечали, что операторы 0R линейны:
0R № (*) + Ф (*)] = 0*ф (х) + 0Rф (*). (3.70)
Из (3.68) очевидно, что
Оя№(*) ' Ф(*)] = (*) • ОдфС*)- (3.71)
Если имеется оператор Н(х), который, действуя на функцию ф(.*0> преобразует ее в функцию
<Р(х)=Н(х)\р(х),
то
0R \Н (х) ф (л:)] = 0Rф (х) = <f(R~1x) = H(R~lx)$ (R~lx),
0RH (х) Or*Or\\i (х) = Н (R~lх) Орф (х) = Н' (х) 0/?ф (х),
где
Н' (х) =H(R~'x) = 0RH (х) 0~R\
или
Н' (Rx) = H(x).
Преобразованный оператор Н' в точке Rx оказывает то же действие, что и оператор Н в точке х. В общем случае операторы Н и Н' в наперед заданной точке х не совпадают. Если же
Н' (х) = Н(х),
так что
H(Rx) = H(x)
0RH{X)0-Rl = H{x), . (3.73)
112
Г лава 3. Представления групп
то говорят, что оператор Н{х) инвариантен относительно преобразования R [оператор Н (х) коммутирует с оператором 0Л].
Задачи. 1. Покажите, что оператор д2 j дх\-\-д2 j дх\ инвариантен относительно преобразований (3.45) и (3.46).
2. Оператор преобразования Фурье F определяется следующим образом:
+ 00
/м|) (х)з*ф(у) = (2л)-3/2 J" dxeCy xty (х).
— СО
Покажите, что F — линейный оператор. Покажите, что оператор
Н(х)^ V2 + х2
коммутирует с F,
Теперь мы уже в состоянии рассмотреть вопрос о связи того, что мы делаем, с физикой.
Рассмотрим собственные функции задачи
//ф„ = еф„. (3.74)
Пусть данному собственному значению є отвечает п линейно независимых собственных функций Если гамильтониан Н инвариантен относительно преобразования симметрии R, то, применяя к (3.74) оператор Од, мы получим
°r = 0^0r0r% = Н [° А] = е0А (3-75)
и есть собственная функция, принадлежащая тому же самому
собственному значению є. Но тогда можно представить в виде
линейной комбинации
П
0А= (3.76)
ц-1
Выполняя эту процедуру для всех операторов из группы симметрии гамильтониана, мы получаем /i-мерное представление D^{R). Если
5—другое преобразование, принадлежащее той же группе симметрии, то
П
0s4>v= 2 VW5)
Ц-1
И
0S «vig = о$ 2 (R) = 2 №* с5)№ =
д я. д
= 2 A ID (S) D (/?)],v = 2 il?,DXv (SR), (3.77)
b b
§ 9. Унитарные пространства
113
откуда следует, что преобразованию симметрии SR соответствует матрица
D (SR) = D(S)D (R).
Собственные функции каждого вырожденного уровня образуют базис некоторого представления группы симметрии. Если мы сможем найти какой-либо способ охарактеризовать возможные представления группы симметрии, то мы сможем классифицировать и собственные функции.
§ 9. Унитарные пространства; скалярное произведение; унитарные матрицы; эрмитовы матрицы
В квантовых теориях мы сопоставляем парам векторов („векторам состояний") некоторые численные величины. Чтобы привести теорию представлений в более тесное соприкосновение с физикой, определим метрику в /i-мерном пространстве L. Для этого каждой паре векторов х и у пространства L мы сопоставляем комплексное число (х, у). Комплексное число (х, у) называется скалярным произведением х и у. Требуется, чтобы оно удовлетворяло следующим условиям:
(х, у) = (у, х)* (3.78)
[где * означает переход к комплексно сопряженному числу],
(х, ау) = а(х, у), (3.78а)
(х, + х2> у) = (хь у) + (х2, у), (3.786)
(х, х)>0 (3.78b)
и (хх) = 0 только в том случае, если х = 0. [Полагая у = х в (3.78), можно показать, что (х, х) вещественно, поэтому (3.78в) имеет
смысл.] Величина (х, х) есть квадрат длины вектора х. Простран-
ство L, в котором определено скалярное произведение, называется унитарным пространством.
Скалярное произведение (х, у) есть функция, определенная для любой пары векторов х, у пространства L и принимающая комплексные значения. Вводя определение скалярного произведения, мы не
упоминали ни о каком базисе в L. Поэтому скалярное произведение (х, у) является внутренним свойством векторов х и у, не зависящим от базиса.
114
Г лава 3. Представления групп
Задачи. 1. Докажите неравенство Шварца
I (X, У) |* с (х, х) (у. у), (3.79)
где знак равенства ставится только в том случае, если х и у линейно зависимы. Что означает неравенство (3.79) в случае обычных геометрических векторов в трехмерном пространстве?
2. Определим в пространстве функций с интегрируемым квадратом скалярное произведение функций / и g в виде
(/, g) = J dzf* (z) g (z). (3.80)
Покажите, что скалярное произведение (3.80) конечно для всех функций / и g этого пространства.
Любую функцию, удовлетворяющую условиям (3.78)—(3.78в), можно использовать, чтобы определить в пространстве L скалярное произведение. Различные определения скалярного произведения в одном и том же пространстве L порождают различные унитарные пространства.
Векторы в унитарном пространстве можно нормировать (приводить к единичной длине), умножая их на некоторое комплексное число; для любого х, если
