Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Если выбрать некоторый конкретный базис и,- в пространстве L, то действие оператора Т в соотношении (3.21) можно описать, сказав, что координаты у1 образа являются некоторыми функциями координат Х[\
Уі = Ті(х1......хп) (/= 1.............п). (3.25)
Если отображение взаимно однозначно, то эти уравнения можно разрешить относительно Х{, выразив последние через уг:
хі = ТТ\у і, у„) (/= 1, . . л). (3.25а)
Необходимое и достаточное условие того, чтобы отображение было взаимно однозначным, состоит в отличии от нуля якобиана
,^Щ). (3.26)
Функции Ті и Ті связывают координаты xt и yt относительно заданного базиса U/. Если же мы переходим к новому базису и'., то связь между новыми координатами х'. и у', можно установить, пользуясь формулами (3.16а) и (3.166):
у;=«г/У/ = ~а7}ті (xv ¦¦¦.¦*„)=kj}Tj (aikxk- • • • > ~а,„АУ (3-27)
В случае невырожденного линейного оператора Т связь между координатами xt и yt выражается проще. Применяя к равенству (3.13) оператор Т, получаем
у — Тх = Т(х!и1) = Х{Тщ. (3.28)
Равенство (3.28) показывает, что координаты вектора у относительно базисных векторов v/=7’u(- me же, что и координаты вектора х по отношению к базисным векторам U/. Векторы V; являются линейными комбинациями векторов иг, т. е.
V, = 7ц, = и;Т;7, (3.29)
где Тл — комплексные числа, образующие матрицу Т. Подставляя в (3.28), находим, что при фиксированном базисе, состоящем из векторов иг,
y]\i] = \ijT пхь (3.30)
а поскольку векторы илинейно независимы, то
у j — T jiXi, (3.31)
или, в матричных обозначениях,
У=Т*. (3.32)
100
Глава 3. Представления групп
Матрица Т в (3.32) является матрицей, представляющей линейный оператор Т относительно базиса иг. Если мы перейдем к новому базису и,, заданному равенством (3.14а), то с помощью (3.16а) и (3.166) обнаружим, что
у' = а-Іу = а-ІТх = а-ІТах'. (3.33)
Таким образом, матричное представление линейного оператора Т в новом базисе и, имеет вид
Т'= а_1Та. (3.34)
По определению, матрица, получаемая из матрицы А трансформацией (неособенной) матрицей S, есть матрица
А' = SAS-1. (3.35)
Таким образом, (3.34) означает, что Т' получено из Т трансформацией матрицей а-1.
Отсюда следует, что матричные представления (в различных базисах) одного и того же фиксированного линейного оператора Т по-
лучаются друг из друга трансформацией некоторой матрицей. Матрицы, связанные друг с другом таким соотношением, называются эквивалентными. Поэтому матричные представления линейного оператора Т относительно различных базисов являются эквивалентными матрицами.
Можно также рассматривать взаимно однозначные отображения одного пространства L на другое пространство L'. (Очевидно, что если отображение взаимно однозначно, то эти два пространства имеют одинаковую размерность.) При таких отображениях оператор 5 действует на векторы х пространства L и преобразует их в векторы х' пространства L'\
х'= Sx, x = S~1x'.
Если линейный оператор Т определен в пространстве L, то отображение 5 индуцирует в L' линейный оператор Т':
TESTS'1. (3.36)
Оператор Т' вполне определен: S~l переводит векторы х' пространства L' в векторы х пространства L, Т преобразует векторы х, принадлежащие L, в векторы у, принадлежащие L, и, наконец, 5 переводит векторы у пространства L в векторы у' пространства L'. Таким образом, Т' переводит векторы х', принадлежащие L', в векторы у' из того же L'. Оператор Т' получается из Т трансформацией с помощью оператора 5.
§ 5. Представления групп
101
Задачи. 1. Покажите, что в пространстве многочленов (3.5) d/d? есть линейный оператор. Выберите базис и укажите матрицу, представляющую этот оператор по отношению к выбранному базису. Имеет ли эта матрица обратную?
2. Рассмотрите соответствующую задачу для оператора d/d? в пространстве (3.6).
3. Преобразование Фурье функции / (х) есть функция
4-00 4-оо
g (ft) = (2ji)-I/2 J f(x)e~lkx dx; / (x) = (2л)_ 1/2 J g(k)elhxdk. (3.37)
— OO — OO
Покажите, что оператор (1/0 (д/дх), действующий в пространстве функций / (х), индуцирует в пространстве функций g (k) оператор умножения на k.
§ б. Представления групп
Совокупность операторов А, В, ... в векторном пространстве L образует группу, если эти операторы удовлетворяют аксиомам, изложенным в гл. 1. В этом случае под произведением операторов А и В понимают такой оператор С, что
Сх = Л(?х) для всех х из L. (3.38)
Единичным элементом группы служит тождественный оператор, оставляющий все векторы в L без изменений. Все операторы группы имеют обратные.
Если мы, пользуясь оператором S, отобразим пространство L на другое пространство L', мы получим изоморфную группу операторов, которые действуют в пространстве L' и получаются из операторов А, В, ... трансформацией с помощью оператора S:
A' = SAS~\ B' = SBS~l............. (3.39)
Если произвольную группу О отобразить гомоморфно в группу операторов D (G), действующих в векторном пространстве L, мы
скажем, что группа операторов D(G) есть представление группы О
в пространстве представления L. Если размерность пространства L равна п, говорят, что размерность представления равна п (или же что представление п-мерно). Оператор, соответствующий элементу R группы О, обозначим через D(R). Если R и 5 — элементы группы О, то
