Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначения, которыми мы пользовались при рассмотрении точечных групп, принадлежат Шенфлису. Было предложено много различных обозначений. Они все обладают некоторыми преимуществами и кое-какими недостатками.
Второй системой обозначений является система, которую мы будем называть системой Шубникова. В этих обозначениях наличие поворотной оси я-го порядка указывается символом п. Так, группа G\ обозначается 1, С2 — 2 и т. д. Зеркально-поворотные оси обозначаются черточкой над соответствующим символом, так что группа = $2 будет теперь обозначаться 2, группа $4 будет обозначаться 4 и т. д. Наличие плоскости симметрии указывается буквой т, так что группа Gs^.G\h будет обозначаться просто т, поскольку ее единственным элементом симметрии является отражение.
Если точечная группа содержит более одного элемента симметрии, то каждый из них указывают с помощью специального символа, кроме того, указывают их взаимное расположение. Чтобы показать, что два элемента симметрии параллельны (например, ось вращения и плоскость симметрии, проходящая через эту ось), между их символами ставят точку. В этих обозначениях группа Q2v запишется в виде 2. т.
Двоеточие используется для того, чтобы указать, что два элемента симметрии перпендикулярны. Например, 3 : 2 означает, что группа содержит ось 3-го порядка и ось 2-го порядка, расположенные под прямым углом друг к другу. Эта группа в обозначениях Шенфлиса есть в точности группа D3. Аналогичным образом символ 3 : т указывает на то, что имеется какая-то плоскость симметрии, перпендикулярная оси 3-го порядка, т. е. эта группа есть именно та группа, которую мы называем QZh.
Наклонная черта означает, что группа содержит две оси, расположенные друг относительно друга не под прямым утлом. Так, 3/2 означает, что в группе имеется ось 3-го порядка и ось 2-го порядка, образующие друг с другом некоторый угол, отличный от 90°. Из фиг. 34 и приведенных выше соображений ясно, что это — группа 7\
Чаще всего кристаллографы пользуются интернациональной системой обозначений. В этом случае черта над символом озна-
Таблица 1
Шенфлис Єї Gnh. G2 Є, Dih D3 б 2V
Шубников 1 2 2: т 2 т т -2: т 2:2 2 ¦ т
Интернациональные обозначения 1 Г 2/т 2 т ттт 222 тт2 = 2тт
Шенфлис D$h ^3 §6 6г Dth о4 Dm §4 Є4
Шубников т-3: т 3:2 3 • т 6 3 а а 4:2 4 • т 4: т 4 • т 4 4
Интернациональные обозначения Ът2 =62 т 32 3 т 3 3 4 jmmm 422 = 42 4 тт 4/т 42 т 4 4
Шенфлис D6h D6 G&v Geh e3h Єє oh 0 Td Т’л 7"
Шубников а 05 а 6:2 6 • т 6: т 6 • т 3: т 6 6/4 3/4 3/4 6/2 3/2
Интернациональные обозначения 6/ттт III Оі Є ю 6 тт 6/їй 3 т 6 6 тЗт 432 = 43 43 т m3 23
86
Глава 2. Группы симметрии
чает, что берется произведение соответствующей операции и пространственной инверсии. Например, 1 означает группу Gt. Символ т используют для обозначения плоскости симметрии, так что группа Gs в этих обозначениях запишется как т. Заметим, что 2 означало бы то же, что т. Группа S6 в этих обозначениях запишется в виде 3, а группа С3/1— в виде 6.
Наклонная черта между символами указывает на то, что группа содержит плоскость симметрии, перпендикулярную оси вращения. Например, группа Gih записывается с бидє 2/т, группа Gih — в виде 4/т. Плоскости симметрии, не перпендикулярные оси вращения, записывают без каких бы то ни было дополнительных пометок. Группа G3v обозначается через Ът, однако группы Giv и G6v записываются как 4тт и 6тт, ибо все вертикальные отражения в первой группе входят в один класс, в то время как в двух других группах они принадлежат двум различным классам.
Группы Dih и D6h обозначаются символами 4/ттт и 6/ттт, поскольку они обладают плоскостью симметрии, перпендикулярной оси вращения, остальные отражения принадлежат двум классам.
Группа D2=V обозначается символом 222, поскольку она содержит одну (главную) ось 2-го порядка и два поворота на 180°, которые не принадлежат одному и тому же классу. Аналогично группы D4 и D6 записываются в виде 422 и 622. С другой стороны, группа D3 имеет обозначение 32, так как все повороты на 180° принадлежат одному и тому же классу.
Для справок мы укажем в табл. 1 обозначения 32 точечных групп во всех трех системах обозначений.
Задача. Объясните смысл символа т • 6: т. Почему именно эту группу мы называем группой D6л? Объясните смысл символов 3, 23 и тЗт в интернациональной системе обозначений.
§ 10. Группы магнитной симметрии (цветные группы)
Мы рассматривали точечные группы симметрии главным образом для описания внешней симметрии кристаллов. При описании микроскопических свойств мы должны были бы рассматривать симметрию распределения атомов (или ионов) в кристалле. Когда мы поступаем именно так, симметрия, которую мы описываем, является симметрией усредненного по времени распределения вещества в кристалле. В этом случае мы уже можем считать, что точечные группы описывают возможную точечную симметрию усредненной по времени плотности заряда р в равновесном состоянии кристалла. В этом равновесном состоянии можно также задать и усредненную по времени плотность
