Теория групп и ее применение к физическим проблемам - Хамермеш М.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10 Группы магнитной симметрии
87
тока j. Поскольку в состоянии равновесия источники или стоки заряда должны отсутствовать, плотность тока j должна удовлетворять уравнению divj = 0. Дгш большинства веществ j = 0, но в ферромагнетиках или антиферромагнетиках j ф 0.
Если в каждой точке мы изменим направление j на противоположное, то состояние равновесия остается состоянием равновесия. Рассмотрим теперь новую операцию симметрии R, которая изменяет знак j в каждой точке пространства, но не действует, на пространственные координаты (R—оператор „обращения времени11). Элемент R имеет порядок 2 (R7 = E) и коммутирует со всеми пространственными вращениями и отражениями.
Теперь мы можем рассмотреть возможные точечные группы симметрии кристаллов, у которых j =/= 0. Такие группы могут содержать обычные вращения и операции зеркального поворота А, но, кроме того, они могут содержать и элементы вида RA, т. е. комбинации геометрического преобразования А и оператора R, изменяющего направление тока j на обратное. Все 32 найденные нами ранее группы являются допустимыми группами симметрии при j Ф 0. Теперь же мы хотим найти новые группы симметрии, содержащие по крайней мере один элемент вида ЯЛ. Сразу видно, что простым присоединением элемента R к одной из обычных точечных групп такие группы получить нельзя. В самом деле, если группа содержит элемент R, то это означает, что j =— j, так что всюду j = 0. Поэтому наши новые группы должны содержать один или более элементов /?Л, но не должны содержать элемент R.
Прежде чем приступить к нахождению всех таких новых групп, рассмотрим еще одну интерпретацию их. Предположим, что грани кристалла можно окрасить в белый (W) или черный (В) цвет и что R—операция, изменяющая цвет (W на В, а В на V/). В дополнение к операциям А геометрической симметрии, которые приводят к сдвигу граней кристалла, но не меняют их цвета, рассмотрим теперь элементы /?Л. Например, если А —поворот, который переводит грань F в грань F', то RA переведет F в F' и сделает цвет грани F' противоположным цвету грани F. Потребуем также, чтобы ни одна грань не была окрашена в оба цвета, так что сам элемент R не должен принадлежать группе. Такие группы мы назовем ^цветными группами11.
Заметим прежде всего, что если группа G содержит элемент M — RA, то порядок А не должен быть нечешым, так как среди всех степеней М, которые содержит G, находился бы элемент R. Следовательно, среди элементов группы не может быть элементов вида RC3 или /?6'3.
Группе G не могут одновременно принадлежать элементы А и М = RA, так как в противном случай в G содержался бы и элемент MA~l = R. В соответствии с этим результатом мы будем обозначать элементы группы через Аь (&=1, 2.............гп), М( = RA;
88
Глава 2. Группы симметрии
(i = m-|~1, /га+ 2, п), где все геометрические операции А раз-
личны. Ясно, что если заменить R единицей, то п элементов Ak
(k = 1, . . ., in) и Ai (1 = m-\-I......n) образовали бы одну из
32 точечных групп. Следовательно, элементы Ak образуют в группе G некоторую подгруппу которая является одной из 32 точечных
групп.
Дачьше мы могли бы поступить следующим образом. Возьмем любую из точечных групп G. Найдем подгруппу с элементами Ak. Умножим все элементы At множества G—(т. е. все элементы группы G, которые не принадлежат подгруппе е№) на R, после чего получим Ml=RAi. Если элементы Mt и Ак образуют группу, то это одна из групп того типа, который мы ищем. Такой метод был бы чрезвычайно утомительным. Но проблема в целом решается, так как сейчас мы докажем следующее утверждение.
Чтобы элементы М[ и Ak образовывали группу, необходимо и достаточно, чтобы подгруппа ?№ в группе G имела индекс 2.
Если подгруппа имеет в группе G индекс 2, то
G = se-\-Atm.
где Al — один из элементов множества G — <§¦,'6. Наше новое множество G’ записывается в виде
G' = &e + RAl36.
Так как
зе ¦&€ = &$, RAtm • ffl^RAiffl, RAtm ¦RAlm = m,
то G' — группа.
Наоборот, если элементы Ak и Mi = RAt образуют группу G', то в результате умножения m элементов из е%? на любой из элементов M-t мы получим m различных элементов типа М-г Если же элементы M-t мы умножим на любой из них, то получим п различных элементов типа Ak. Итак, ?№ имеет в G' индекс 2, а следовательно, Л? и в О имеет индекс 2.
Наш метод нахождения новых групп сводится к следующему. Мы выделяем произвольную точечную группу G. В группе G выбираем любую подгруппу i№ индекса 2. Элементы множества G — Щ! умножаем на R. Тогда группа G' = S^-\-R(G — *Ж) есть новая группа.
Все возможные подгруппы индекса 2 для каждой из 32 точечных групп G перечислены в табл. 2. Каждая из них приводит к какой-то новой группе (магнитному классу) G'. Мы пользуемся интернациональными обозначениями, которые особенно полезны при рассмотрении магнитных класфв. Черта под символом означает, что следует взять произведение соответствующего элемента и оператора обращения времени R,
Таблица
ъ S 1 1 I 1|11Ш11ГО| SI s S 1 см і см SJSJIl ЩІІІІІІ і. s і 1 -.Slrojljj1 ,QJ 1 Д SJ S S | S ш "ra 1 ITO 1 iro 1 .Го 1 ю ю ?r, J 1 S_ s_| S_ SJ S_ 1 * 1>3 , ^ 1 s | SI g 1 ^ і ^ CO i tO I CO 'O CO
